Задание 16. В трапеции ABCD с меньшим основанием ВС точки Е и F — середины сторон ВС и AD соответственно. В каждый из четырёхугольников ABEF и ECDF можно вписать окружность.
а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.
б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции ABCD, если АВ = 7, а радиус окружности, вписанной в четырёхугольник ABEF, равен 2,5.
Решение.
а) В четырехугольник ABEF и четырехугольник ECDF вписаны окружности, следовательно:
Учитывая, что EC = BE и FD = AF (по условию), то
то есть, AB = CD и ABCD – равнобедренная трапеция.
б) В четырехугольник ABEF вписана окружность:
ON = OK = OP = 2,5
как радиусы окружности. Причем:
Отрезки
AO и OB – биссектрисы
углов и 
(так
как ABCD – трапеция).
Следовательно, треугольник AOB – прямоугольный с гипотенузой AB.
Пусть
, тогда:
Второй
корень 
не
удовлетворяет условию AB+EF = BE+AF.
При
, имеем:
Из треугольника BHD:
Из треугольника ABH:
Из треугольника ABD:
Ответ: 9,1
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: