Задание 18. Есть три коробки: в первой коробке 95 камней, во второй — 104, а третья — пустая. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Могло ли в третьей коробке оказаться 199 камней?
б) Могло ли в первой коробке оказаться 100 камней, во второй — 50, а в третьей — 49?
в) В первой коробке оказалось 2 камня. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?
Решение.
а) Да, если за ход брать по одному камню из первых двух коробок и один камень класть в третью, а один в первую, пока число камней в первых двух коробках не станет равным. Затем, все пары камней из первых двух коробок класть в третью. В итоге все камни переложатся в третью коробку и их число будет равно 104+95 = 199.
б) По числу камней это возможно. Проверим, возможно ли этого достичь, перекладывая пары камней по коробкам.
Пусть
в какой-то момент в коробках оказалось a, b и с камней соответственно. Тогда
после одного хода в коробках могло оказаться либо 
, 
и 
камня, либо , 
и 
камень, либо 
, и камень соответственно. Заметим, что
разность между числами камней во второй и в первой коробках либо не изменилась,
либо изменилась на 3. Сначала разность чисел камней во второй и в первой
коробках равнялась 104-95 = 9. А затем, она должна была бы стать равной 100-50
= 50. Число 9 кратно трем, но число 50 не кратно трем, следовательно, как бы мы
ни перекладывали по камни (в соответствии с условием задания), в коробках не
получится распределение камней: 100, 50 и 49.
в) В любой момент
разность чисел камней в первой и во второй коробках равна 
, где k — целое число.
Следовательно, если в первой коробке 2 камня, то во второй коробке 
камней. Значит, во второй
коробке оказалось не меньше 2 камней, а в третьей коробке не больше 199-2-2 =
195 камней.
Ответ: а) да; б) нет; в) 195.
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: