Задание 16. На сторонах АВ и CD четырёхугольника ABCD, около которого можно описать окружность, отмечены точки K и N соответственно. Около четырёхугольников AKND и BCNK также можно описать окружность. Косинус одного из углов четырёхугольника ABCD равен 0,2.
а) Докажите, что прямые KN и AD параллельны.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника BCNK, если радиус окружности, описанной около четырёхугольника ABCD, равен 7, АК : KB = 9 : 10, а ВС <AD и ВС = 10.
Решение.
а) Так как вокруг четырёхугольников ABCD и KBCN можно описать окружность, то:
следовательно,
- соответственные
для прямых KN, AD и секущей AB, получаем, что 
.
б) Так как 
и 
, то 
- соответственные для
прямых BC, KN и секущей CD, значит, 
, 
и ABCD – трапеция.
Так
как , то
и трапеция ABCD – равнобедренная.
Пусть
, тогда 
, 
.
Из треугольника ABD:
Пусть
. Из
треугольника ABB1:
Из треугольника BB1D:
Значит,
.
Для подобных треугольников ABB1 и KBH можно записать отношение:
(так как AK : KB = 9 : 10). Имеем:
Из
треугольника BKH
(
):
Также CN = 4 и по теореме косинусов из треугольника BCN, имеем:
Так как вокруг четырехугольника KBCN можно описать окружность, то:
Ответ: 
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: