Решение 2448. В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с большим основанием AD. Диагонали трапеции пересекаются в точке О. Точки М и N — середины боковых сторон АВ и CD соответственно. Плоскость α проходит

Задание 13. В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с большим основанием AD. Диагонали трапеции пересекаются в точке О. Точки М и N — середины боковых сторон АВ и CD соответственно. Плоскость α проходит через точки М и N параллельно прямой SO.

а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью α является трапецией.

б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью α, если AD = 9, ВС = 7, SO = 6, а прямая SO перпендикулярна прямой AD.

Решение.

а) Пусть плоскость α пересекает прямые SA, SD, BD и AC в точках P, Q, K и L соответственно.

Отрезок MN — средняя линия трапеции ABCD, значит, он параллелен её основанию AD, Значит, плоскость α параллельна прямой AD и пересекает плоскость SAD по прямой, параллельной MN. Плоскость α, параллельная прямой SO, пересекает ребро AS в точке P, а ребро DS — в точке Q. Значит, сечением пирамиды SABCD плоскостью α является многоугольник MPQN, у которого стороны MN и PQ параллельны.

Прямые KQ и PL параллельны прямой SO, поскольку являются прямыми пересечений плоскости α с плоскостями BSD и ASC, содержащими прямую SO, параллельную плоскости α. Следовательно, четырёхугольник PQKL — параллелограмм, а значит, (точки K и L — середины диагоналей BD и АС соответственно).

Таким образом, многоугольник MPQN — трапеция.

б) Прямая SO перпендикулярна прямой AD, прямые PL и SO параллельны, прямые MN и AD параллельны, значит, отрезок PL перпендикулярен отрезку MN и является высотой трапеции MPQN.

В трапеции ABCD:

АО : ОС = AD : ВС = 9 : 7;

;

Рассмотрим плоскость ASC. Прямые SO и PL параллельны, значит,

;

Площадь трапеции MPQN равна

Ответ: 24

Учись программировать на Python бесплатно!

Другие задания: