Решение 2453. Есть три коробки: в первой коробке 112 камней, во второй — 99, а третья — пустая. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.

Задание 18. Есть три коробки: в первой коробке 112 камней, во второй — 99, а третья — пустая. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.

а) Могло ли в первой коробке оказаться 103 камня, во второй — 99, а в третьей — 9?

б) Могло ли в третьей коробке оказаться 211 камней?

в) Во второй коробке оказалось 4 камня. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?

Решение.

а) Пусть 6 раз из первых двух коробок переложили камни в третью. Тогда в первой коробке оказалось 106 камней, во второй — 93 камня, а в третьей — 12 камней. Если после этого 3 раза переложить камни из первой и третьей коробок во вторую, то в первой коробке окажется 103 камня, во второй — 99, а в третьей — 9.

б) Если в третьей коробке оказалось 211 камней, то в первой и во второй коробках не осталось камней.

Пусть в какой-то момент в коробках оказалось a, b и с камней соответственно. Тогда после одного хода в коробках могло оказаться либо , и камня, либо , и камень, либо , и камень соответственно. Заметим, что разность между числами камней во второй и в первой коробках либо не изменилась, либо изменилась на 3. Сначала разность чисел камней во второй и в первой коробках равнялась 13. Следовательно, ни в какой момент она не могла стать равной 0. Значит, в этих двух коробках всегда разное число камней. Следовательно, в третьей коробке не могло оказаться 211 камней.

в) В любой момент разность чисел камней в первой и во второй коробках равна , где k — целое число. Следовательно, если во второй коробке 4 камня, то в первой коробке камней. Значит, в первой коробке оказалось не меньше 2 камней, а в третьей коробке не больше 205 камней.

Покажем, как в третьей коробке могло оказаться 205 камней. Пусть 99 раз из первых двух коробок переложили камни в третью. Тогда в первой коробке оказалось 13 камней, во второй — 0 камней, а в третьей — 198 камней. Если после этого 5 раз переложить камни из первой и третьей коробок во вторую, то в первой коробке окажется 8 камней, во второй — 10, а в третьей — 193. Если после этого 6 раз переложить камни из первых двух коробок в третью, то в первой коробке окажется 2 камня, во второй — 4 камня, а в третьей — 205 камней.

Ответ: а) да; б) нет; в) 205.

Научись программировать на Python бесплатно!

Другие задания: