Задание 16. В трапеции ABCD с меньшим основанием ВС точки Е и F — середины сторон ВС и AD соответственно. В каждый из четырёхугольников ABEF и ECDF можно вписать окружность.
а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.
б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции ABCD, если ВС = 16, а радиус окружности, вписанной в четырёхугольник ABEF, равен 7.
Решение.
а) В четырехугольник ABEF и четырехугольник ECDF вписаны окружности, следовательно:
Учитывая, что EC = BE и FD = AF (по условию), то
то есть, AB = CD и ABCD – равнобедренная трапеция.
б) В четырехугольник ABEF вписана окружность:
ON = OK = OP = 7
как радиусы окружности. Причем:
Точка E – середина отрезка BC, следовательно, BE = BC:2 = 8. Учитывая, что KE=7, получаем BK = 8-7 = 1 и BN = 1 (отрезки касательных равны).
Рассмотрим
прямоугольный треугольник AOB (углы 
, AO и BO – биссектрисы).
Имеем:
Из треугольника ABH:
Из треугольника ACM:
Из треугольника ACD:
Учитывая,
что 
, имеем:
Ответ: 
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: