Задание 13. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD относится к боковому ребру как 1 : √2 . Через вершину D проведена плоскость α, перпендикулярная боковому ребру SB и пересекающая его в точке М.
а) Докажите, что М — середина SB.
б) Найдите расстояние между прямыми АС и DM, если высота пирамиды равна 6√3.
Решение.
а) Пусть О — центр основания пирамиды SABCD. Через точку D проведём прямую m, параллельную прямой АС. Прямая m перпендикулярна BD, поэтому по теореме о трёх перпендикулярах прямая m перпендикулярна BS.
В треугольнике DBS опустим высоту DM на сторону BS. Тогда плоскость, проходящая через прямые m и DM — это искомая плоскость α, так как она перпендикулярна прямой BS по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
Обозначим точки пересечения прямой m с прямыми АВ и ВС соответственно K и Q. Пусть прямая KM пересекает ребро SA в точке L, а прямая МО пересекает ребро SC в точке Т. Четырёхугольник DLMT — искомое сечение.
Пусть
, тогда 
. Треугольник BSD —
равносторонний, поэтому высота DM является в нём также и медианой, поэтому М —
середина SB.
б) Обозначим P точку пересечения высоты SO пирамиды SABCD с плоскостью α. Точка P лежит в плоскости SBD, так как прямая SO содержится в этой плоскости.
В треугольнике OPD из вершины O опустим перпендикуляр ОЕ на сторону PD.
Прямая АС перпендикулярна плоскости OPD, в которой лежит ОЕ, поэтому ОЕ является общим перпендикуляром для скрещивающихся прямых АС и DM.
Треугольник
BSD является
равносторонним, поэтому 
. Отсюда
получаем, что
Найдём высоту ОЕ треугольника POD:
Ответ: 3
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: