Решение 3151. Окружность с центром в точке C касается гипотенузы АВ прямоугольного треугольника ABC и пересекает его катеты АС и ВС в точках Е и F. Точка D – основание высоты, опущенной на АВ. I и J

Решение 3151. Окружность с центром в точке C касается гипотенузы АВ прямоугольного треугольника ABC и пересекает его катеты АС и ВС в точках Е и F. Точка D – основание высоты, опущенной на АВ. I и J — центры окружностей

Задание 16. Окружность с центром в точке C касается гипотенузы АВ прямоугольного треугольника ABC и пересекает его катеты АС и ВС в точках Е и F. Точка D – основание высоты, опущенной на АВ. I и J — центры окружностей, вписанных в треугольники BCD и ACD.

а) Докажите, что точки Е и F лежат на прямой IJ.

б) Найдите расстояние от точки C до прямой IJ, если AC = 2√3, BC = 2.

Решение.

а) Окружность с центром C касается АВ в точке D, так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Отрезки CF, CD и СЕ равны как радиусы, поэтому треугольник CFE — прямоугольный и равнобедренный, значит, .

В равнобедренном треугольнике CFD проведём биссектрису из вершины C. Обозначим через I1 её точку пересечения с хордой EF.

Треугольники CFI1 и CDI1 равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, .

Отсюда получаем, что

Таким образом, в треугольнике BCD точка I1 лежит на пересечении биссектрис углов C и D, то есть I1 — центр окружности, вписанной в треугольник BCD, поэтому точки I и I1 совпадают. Значит, точка I лежит на отрезке EF. Аналогично доказывается, что точка J лежит на отрезке EF.

б) Треугольник ABC – прямоугольный (по условию) со сторонами , BC = 2. По теореме Пифагора, имеем:

Площадь треугольника ABC:

откуда

и (радиусы одной и той же окружности).

Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник ECF с катетами √3 и острым углом 45 градусов. Имеем:

Расстояние от точки C до прямой IJ равно высоте равнобедренного прямоугольного треугольника CEF, проведенной из точки C:

Ответ:

Научись программировать на Python бесплатно!

Другие задания: