Задание 25. Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 10 и 8, а средняя линия равна 3.
Решение.
1-й способ. Пусть AC = 10, BD = 8. Найдем высоту трапеции CH. Сделаем дополнительное построение: проведем отрезок CE, параллельно отрезку BD.
Полученный четырехугольник BCED – параллелограмм, т.к. BC=DE, BD=CE и противоположные стороны параллельны. Следовательно, отрезок:
AE = AD+DE = AD+BC
Рассмотрим треугольник ACE, в котором известны все три стороны: AC = 10, CE = BD = 8, AE = AD+BC = 2∙3 = 6 (удвоенная средняя линия трапеции). Полупериметр этого треугольника:
p = (AC+CE+AE):2 = (10+8+6):2 = 12
Найдем площадь треугольника ACE по формуле Герона:
Следовательно, высота CH:
равна
И площадь трапеции:
2-й способ. Сумма оснований трапеции:
Одна из диагоналей трапеции, пусть это будет BD = 10:
Можно заметить, что числа 6, 10 и 8 образуют стороны прямоугольного треугольника, согласно обратной теореме Пифагора:
Следовательно, трапеция такая, что:
То есть, является параллелограммом (иначе бы, диагональ BD была меньше 10).
Площадь параллелограмма, равна:
Ответ: 24
Другие задания:
Внимание! Нумерация заданий в сборнике 2021 отличается от сборника 2020
Для наших пользователей доступны следующие материалы: