Решение 3253. Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет хотя бы одно, но не более шести решений.

Задание 18. Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

имеет хотя бы одно, но не более шести решений.

Решение.

Заметим, что из второго уравнения, а также из определения гиперболы () следует, что .

Представим заданную систему в виде совокупности двух систем:

Обратим внимание, что на координатной плоскости прямые и параллельны и расположены ниже прямой , проходящей через начало координат. Исходная система имеет не более 6 решений тогда, когда одна прямая пересекает одну гиперболу в двух точках, а вторая прямая пересекает гиперболы в 4 точках (т.е. каждую гиперболу в двух точках). В случае совпадения прямых система имеет четыре решения. Значение параметра, при котором прямые совпадают, найдем из условия , .

Рассмотрим каждую из систем в отдельности.

Первая система:

Точка является точкой касания прямой и гиперболы. В общем виде уравнение касательной имеет вид

В нашем случае уравнение касательной примет вид

После преобразований получаем

Рассмотрев уравнения прямой и касательной, приравняем соответствующие коэффициенты

Таким образом, получаем, что при система имеет 2 решения; при система имеет 3 решения, при система имеет 4 решения.

Вторая система:

Найдем уравнение касательной и приравняем соответствующие коэффициенты уравнений

Таким образом, при система имеет 2 решения, при система имеет три решения, при система имеет 4 решения.

Представим полученные решения двух систем на числовой оси. Решением задачи будет пересечение решений двух систем, дающие 6 решений.

Таким образом, совокупность систем имеет решение .

Ответ:

Научись программировать на Python бесплатно!

Другие задания: