Задание 16. На гипотенузе АВ и катетах ВС и АС прямоугольного треугольника ABC отмечены точки М, N и К соответственно, причём прямая NK параллельна прямой АВ и ВМ = BN =1/2∙KN. Точка Р — середина отрезка KN.
а) Докажите, что четырёхугольник ВСРМ — равнобедренная трапеция.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если ВМ = 3 и угол PMC = 30°.
Решение.
а) Рассмотрим
четырехугольник BNPM: BM=NP, 
(по условию). Т.к. в
данном четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот
четырехугольник является параллелограммом.
Из
свойства параллелограмма (противоположные стороны попарно равны и параллельны)
следует, что 
.
Следовательно, в четырехугольнике BCPM 
. Т.к. точка Р –
середина KN, то CP – медиана,
проведенная из вершины прямого угла. Поэтому CP=NP=PK. Учитывая, что BM=NP, получаем
равенство сторон BM=CP.
Таким образом, получаем, что в четырехугольнике BCPM две стороны параллельны (основания), а две другие – равны (боковые стороны), а значит, четырехугольник BCPM - равнобедренная трапеция.
б) Площадь
прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов 
. Найдем значения
катетов треугольника. Рассмотрим 
: MP=CP (т.к. MP=BN из свойств
параллелограмма, BN=CP из свойства медианы, проведенной из
вершины прямого угла, и условия). Треугольник равнобедренный, значит, угол 
(по свойству
равнобедренного треугольника). 
(т.к. 
и 
накрест лежащие при ), 
. По свойству равнобедренной трапеции 
. Получаем, что 
- прямоугольный. По
свойству прямоугольного треугольника – катет, лежащий против угла в 30°, равен
половине гипотенузы – получаем, что BC=6.
Аналогично
для 
получаем
гипотенуза AB=12. Далее, по теореме
Пифагора: 
. И
площадь равна:
Ответ: 
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: