Задание 16. На гипотенузе АВ и катетах ВС и АС прямоугольного треугольника ABC отмечены точки М, N и К соответственно, причём прямая NK параллельна прямой АВ и ВМ = BN = 1/2∙KN, Точка Р — середина отрезка KN.
а) Докажите, что четырёхугольник ВСРМ — равнобедренная трапеция.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если ВМ = 2 и угол BCM = 30°.
Решение.
а) Рассмотрим
четырехугольник BNPM: BM=NP, 
(по условию). Т.к. в
данном четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот
четырехугольник является параллелограммом.
Из
свойства параллелограмма (противоположные стороны попарно равны и параллельны)
следует, что 
.
Следовательно, в четырехугольнике BCPM 
. Так как точка Р –
середина KN, то CP – медиана,
проведенная из вершины прямого угла. Поэтому CP=NP=PK. Учитывая, что BM=NP, получаем
равенство сторон BM=CP. Таким образом, получаем, что в
четырехугольнике BCPM две стороны параллельны (основания), а
две другие – равны (боковые стороны), а значит, четырехугольник BCPM – равнобедренная
трапеция.
б) Площадь
прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов 
. Найдем значения
катетов треугольника.
Рассмотрим
: 
(т.к. 
и 
накрест лежащие при ); MP=CP (т.к. MP=BN из свойств
параллелограмма, BN=CP из свойства медианы, проведенной из
вершины прямого угла, и условия). Следовательно, - равнобедренный. А значит, 
.
Таким
образом, получаем, что 
. По свойству равнобедренной трапеции 
. Получаем, что 
- прямоугольный. По
свойству прямоугольного треугольника – катет, лежащий против угла в 30°, равен
половине гипотенузы – получаем, что BC=4. Аналогично для 
получаем гипотенуза AB=8.
По
теореме Пифагора: 
.
И площадь равна:
Ответ: 
Рекомендуем! Лучшие курсы ЕГЭ и ОГЭ
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: