Задание 16. Отрезок, соединяющий середины М и N оснований соответственно ВС и AD трапеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.
а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.
б) Известно, что радиус этих окружностей равен 4, а меньшее основание ВС исходной трапеции равно 14. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны АВ, основания AN трапеции ABMN и вписанной в неё окружности.
Решение.
а) Дана трапеция ABCD, в которой M – середина BC, а N – середина AD (см. рисунок ниже). Следовательно,
BM=MC и AN=ND (1).
По условию задания в трапецию ABMN можно вписать окружность, значит, суммы ее противоположных сторон равны:
AB+MN = BM+AN,
откуда
MN = BM+AN-AB.
Аналогично для трапеции MCDN:
CD+MN = MC+ND
MN = MC+ND-CD
Приравниваем два выражения для MN, имеем:
BM+AN-AB = MC+ND-CD
и, учитывая равенство (1), получаем:
-AB = -CD
AB = CD
Получаем равенство боковых сторон, значит, трапеция ABCD – равнобедренная.
б) Так как радиус вписанных окружностей равен 4, значит, высота трапеции MN=2∙4=8. Также по условию дана длина BC=14 и, следовательно, BM=BC:2=14:2=7. Обозначим BF через x (см. рисунок ниже). Тогда BM1=x как отрезки касательных.
Получаем, что M1M=7-x, поэтому и MZ=7-x,
NZ = MN-MZ = 8-(7-x) = x+1,
следовательно, N1N=x+1 (так как соответствующие отрезки касательных равны). Так как MZ=ZN (радиус O1Z вписанной окружности будет параллелен основаниям трапеции), имеем:
Значит, BF=BM1 = 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник BO1A (он прямоугольный, так как AO1 и BO1 – биссектрисы, а , поэтому ). Квадрат высоты OF1, проведенной из прямого угла, равен:
и по теореме Пифагора
Обозначим радиус малой окружности AO=y, тогда
Учитывая, что треугольники AFO1 и AYO подобны по двум углам, можем записать отношение:
Ответ: 1.
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: