Задание 18. Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно шесть решений.
Решение.
Заметим, что из
второго уравнения, а также из определения гиперболы () следует, что
.
Представим заданную систему в виде совокупности двух систем:
Обратим
внимание, что на координатной плоскости прямые и
параллельны и расположены ниже прямой
, проходящей через
начало координат. Исходная система имеет 6 решений тогда, когда одна прямая
пересекает одну гиперболу
в 2 точках, а другая прямая пересекает обе
гиперболы
в 4
точках (т.е. эта прямая пересекает каждую гиперболу в 2 точках). Также нужно
исключить случай совпадения прямых, т.к. при этом система не будет иметь 6
решений. Таким образом, нужно исключить значение параметра
,
.
Рассмотрим каждую из систем в отдельности.
Первая система:
Точка
А является
точкой касания прямой и гиперболы. В общем виде уравнение касательной имеет вид
.
В нашем случае уравнение касательной примет вид
.
После преобразований получаем
.
Рассмотрев уравнения прямой и касательной, приравняем соответствующие коэффициенты
Таким
образом, получаем, что при система имеет 2 решения; при
система имеет 3
решения, при
система
имеет 4 решения.
Вторая система:
Найдем уравнение касательной и приравняем соответствующие коэффициенты уравнений
Таким
образом, при система
имеет 2 решения, при
система
имеет три решения, при
система имеет 4 решения.
Представим
полученные решения двух систем на числовой оси и исключим точку . Решением задачи будет
пересечение решений двух систем, дающие 8 решений.
Таким
образом, совокупность систем имеет решение .
Ответ:
![]() |
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: