Задание 18. Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно шесть решений.
Решение.
Заметим, что из
второго уравнения, а также из определения гиперболы (
) следует, что 
.
Представим заданную систему в виде совокупности двух систем:
Обратим
внимание, что на координатной плоскости прямые 
и 
параллельны и расположены ниже прямой 
, проходящей через
начало координат. Исходная система имеет 6 решений тогда, когда одна прямая
пересекает одну гиперболу 
в 2 точках, а другая прямая пересекает обе
гиперболы 
в 4
точках (т.е. эта прямая пересекает каждую гиперболу в 2 точках). Также нужно
исключить случай совпадения прямых, т.к. при этом система не будет иметь 6
решений. Таким образом, нужно исключить значение параметра 
, 
.
Рассмотрим каждую из систем в отдельности.
Первая система:
Точка
А
является
точкой касания прямой и гиперболы. В общем виде уравнение касательной имеет вид
.
В нашем случае уравнение касательной примет вид
.
После преобразований получаем
.
Рассмотрев уравнения прямой и касательной, приравняем соответствующие коэффициенты
Таким
образом, получаем, что при 
система имеет 2 решения; при 
система имеет 3
решения, при 
система
имеет 4 решения.
Вторая система:
Найдем уравнение касательной и приравняем соответствующие коэффициенты уравнений
Таким
образом, при 
система
имеет 2 решения, при 
система
имеет три решения, при 
система имеет 4 решения.
Представим
полученные решения двух систем на числовой оси и исключим точку 
. Решением задачи будет
пересечение решений двух систем, дающие 8 решений.
Таким
образом, совокупность систем имеет решение 
.
Ответ:
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: