Решение 2853. Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет ровно восемь решений.

Задание 18. Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно восемь решений.

Решение.

Заметим, что из второго уравнения, а также из определения гиперболы () следует, что .

Представим заданную систему в виде совокупности двух систем:

Обратим внимание, что на координатной плоскости прямые и параллельны и расположены ниже прямой , проходящей через начало координат. Исходная система имеет 8 решений тогда, когда каждая прямая пересекает гиперболы в 4 точках (т.е. каждую гиперболу в двух точках). Также нужно исключить случай совпадения прямых, т.к. при этом система не имеет 8 решений. Таким образом, нужно исключить значение параметра , .

Рассмотрим каждую из систем в отдельности.

Первая система:

Точка А является точкой касания прямой и гиперболы. В общем виде уравнение касательной имеет вид

В нашем случае уравнение касательной примет вид

После преобразований получаем

Рассмотрев уравнения прямой и касательной, приравняем соответствующие коэффициенты

Таким образом, получаем, что при система имеет 2 решения; при система имеет 3 решения, при система имеет 4 решения.

Вторая система:

Найдем уравнение касательной и приравняем соответствующие коэффициенты уравнений

Таким образом, при система имеет 2 решения, при система имеет три решения, при система имеет 4 решения.

Представим полученные решения (случай 4 решений) двух систем на числовой оси и исключим точку .

Таким образом, совокупность систем имеет решение .

Ответ:

Другие задания: