Задание 16. Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом С. На катете АС взята точка М. Окружность с центром О и диаметром СМ касается гипотенузы в точке N.
а) Докажите, что прямые MN и ВО параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника BOMN, если CN = 4 и AM : МС = 1:3.
Решение.
а) Для того чтобы прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы накрест лежащие углы были равны, или соответственные углы были равны, или сумма односторонних углов равнялась 180 градусам.
Рассмотрим соответственные углы СМN и COB. Рассмотрим треугольники OAN и ABC. Они подобны по двум углам: угол А – общий, углы N и С – прямые. Следовательно, углы АON и ABC равны. Пусть они будут равны 2α.
Рассмотрим треугольник CNM. Угол MNC – прямой (т.к. опирается на диаметр окружности), угол MCN – вписанный, опирается на дугу MN и равен половине ее градусной меры. Центральный угол MON также опирается на эту дугу и равен ее полной градусной мере, т.е. 2α. Следовательно, в рассматриваемом треугольнике CNM , .
Рассмотрим прямоугольный треугольник BOC. В нем (по теореме об отрезках касательных, проведенных из одной точке), . Таким образом, получаем , а значит, .
б) Четырёхугольник BOMN является трапецией: две стороны параллельны, а две другие нет). Площадь трапеции вычисляется по формуле .
Высота трапеции PN=2 (СP=PN из равенства треугольников CPB и BNP по двум сторонам и углу между ними), вычислим основания.
Пусть АМ=x. Рассмотрим подобные треугольники AON и ABC. . В треугольнике AON: АО=2,5x, ON=1,5x (CO=OM=ON как радиусы окружности), (по теореме Пифагора).
Из соотношения найдем СВ:
.
СВ=NB (как отрезки касательных, проведенных из одной точки).
Рассмотрим прямоугольный треугольник ONB. По теореме Пифагора
Рассмотрим прямоугольный треугольник NPB. . Откуда
, а .
Тогда
.
Из прямоугольного треугольника СМN вычислим MN.
.
Таким образом, площадь трапеции равна
Ответ: 7
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: