Задание 18. Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно шесть решений.
Решение.
Из
второго уравнения системы получаем: 
. Если a = 0, то
получаем
систему
откуда 
Значит, a > 0. Получим систему
откуда 
или 
.
На координатной плоскости мы получаем
две параллельные прямые и две гиперболы. Если две прямые совпадают, то шесть
различных решений невозможно. Поэтому 
, откуда 
.
При этом условии гипербола y=a/x пересекает каждую из прямых в двух различных точках. Это даёт четыре различных решения данной системы.
Еще два решения получаются при пересечении прямых гиперболой y=-a/x
в двух различных точках. Для этого нужно, чтобы гипербола дважды пересекала ту прямую, что дальше от начала координат, и не имела общих точек с прямой, что ближе к началу координат. Для этого нужно, чтобы из двух квадратных уравнений
и 
одно имело ровно два различных корня, а другое не имело корней. Дискриминанты этих уравнений должны быть противоположных знаков. Получаем:
Учитывая, что a > 0, приходим к неравенству
,
откуда
или 
.
Ответ: 
.
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: