ЕГЭ и ОГЭ
Главная

Решение 2861. В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 8. Найдите стороны треугольника ABC.

Задание 26. В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 8. Найдите стороны треугольника ABC.

Решение.

1. По условию задачи биссектриса BE и медиана AD пересекаются под прямым углом. Следовательно, в треугольнике ABD BK – медиана, и треугольник ABD равнобедренный с основанием AD. Тогда AK=KD=4.

2. Так как AD – медиана, то BD=DC и из равенства AB=BD имеем:

AB=BD=DC,

то есть,

BC = 2AB

3. По свойству биссектрисы треугольника ABC, имеем:

и, так как BC/AB = 2, то

4. Сделаем дополнительное построение: из точки A проведем прямую, параллельную BC до пересечения ее с продолжением биссектрисы BE в точке F. Получаем прямую . Рассмотрим подобные треугольники BEC и FEA (по двум углам: вертикальные и накрест лежащие). Для них верно отношение:

Рассмотрим треугольник ABF, у которого AB=AF и углы при основании BF равны, следовательно, ABF – равнобедренный и AK – медиана этого треугольника: BK=KF. Из ранее записанного отношения:

Значит, BE+FE=8+4=12 и BK=KF=12:2 = 6.

5. Рассмотрим прямоугольный треугольник AKB, в котором известны два катета AK и BK. По теореме Пифагора найдем гипотенузу AB:

.

Так как BD=AB, а BC=2BD=2AB, то

.

6. Вычислим длину отрезка AE из прямоугольного треугольника AKE по теореме Пифагора:

По свойству биссектрисы треугольника можно записать, что

,

откуда

и сторона AC равна

.

Ответ: .


Темы раздела

Для наших пользователей доступны следующие материалы: