Задание 26. В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 8. Найдите стороны треугольника ABC.
Решение.
1. По условию задачи биссектриса BE и медиана AD пересекаются под прямым углом. Следовательно, в треугольнике ABD BK – медиана, и треугольник ABD равнобедренный с основанием AD. Тогда AK=KD=4.
2. Так как AD – медиана, то BD=DC и из равенства AB=BD имеем:
AB=BD=DC,
то есть,
BC = 2AB
3. По свойству биссектрисы треугольника ABC, имеем:
и, так как BC/AB = 2, то
4.
Сделаем дополнительное построение: из точки A проведем прямую,
параллельную BC до пересечения
ее с продолжением биссектрисы BE в точке F. Получаем прямую
. Рассмотрим
подобные треугольники BEC и FEA (по двум углам:
вертикальные и накрест лежащие). Для них верно отношение:
Рассмотрим треугольник ABF, у которого AB=AF и углы при основании BF равны, следовательно, ABF – равнобедренный и AK – медиана этого треугольника: BK=KF. Из ранее записанного отношения:
Значит, BE+FE=8+4=12 и BK=KF=12:2 = 6.
5. Рассмотрим прямоугольный треугольник AKB, в котором известны два катета AK и BK. По теореме Пифагора найдем гипотенузу AB:
.
Так как BD=AB, а BC=2BD=2AB, то
.
6. Вычислим длину отрезка AE из прямоугольного треугольника AKE по теореме Пифагора:
По свойству биссектрисы треугольника можно записать, что
,
откуда
и сторона AC равна
.
Ответ: 
.
Для наших пользователей доступны следующие материалы: