Задание 16. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 5, боковые рёбра равны 2, точка D — середина ребра СС1.
а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и ADB1.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и ADB1.
Решение.
а) Отрезок B1D пересекает BC в точке E, точка A – общая для плоскостей ABC и AB1D, следовательно, плоскости пересекаются по прямой AE (см. рисунок).
б) Проведем
отрезок 
,
отрезок 
,
тогда 
и угол DHC – линейный угол
двугранного угла между плоскостями ABC и ADB1. Данный угол и
требуется найти.
Рассмотрим прямоугольный треугольник DCH, из которого следует, что
.
Так
как точка D – середина отрезка
CC1=2, то DC=1. По теореме
Фалеса имеем EC=CB=5, AC=5, а угол 
. Треугольник ECA равнобедренный
(это следует из подобия треугольников ECD и DC1B, в которых EC=C1B1, а C1B1=CA, то есть EC=CA), тогда угол 
и
,
откуда
Наконец,
и искомый угол
.
Ответ: 
.
Для наших пользователей доступны следующие материалы: