Задание 16. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD основание ABCD — квадрат со стороной 6, а боковое ребро равно 9. На ребре SA отмечена точка М так, что SM = 6.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки B, C, и M.
б) Найдите расстояние от вершины S до плоскости ВСМ.
Решение.
а) Так как плоскость ВСМ параллельна AD, то она пересекает грань ADS по прямой MN параллельной AD. Таким образом, сечением является трапеция BMNC.
б) Прямые BM и CN пересекаются в
точке U,
причём прямая US — пересечение плоскостей граней SAB и SCD — параллельна AB.
Из подобия треугольников
USM и BAM
имеем 
, откуда
.
Пусть
теперь T — середина BC.
Так как 
и
, то плоскость BCM перпендикулярна
плоскости UST.
Это
значит, что искомое расстояние SH — высота в треугольнике UST.
Найдём
её.
Для
этого сначала вычислим 
. Далее, если SO
—
высота пирамиды, то 
. По теореме косинусов в
треугольнике UST 
, при этом 
. Тогда 
.
Теперь
вычислим площадь треугольника UST двумя способами.
С одной стороны она равна половине произведения стороны US на высоту из
точки T
на неё, но эта высота равна SO, то есть площадь равна 
. С другой стороны, она равна 
, так что 
.
Ответ: 
.
Для наших пользователей доступны следующие материалы: