Задание 25. В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны стороны и диагональ: АВ = 60, ВС = 28, CD = 96, AD = 80 и BD = 100. Докажите, что около этого четырёхугольника можно описать окружность.
Решение.
Рассмотрим треугольник ADB, в котором AD=80, AB=60, DB=100 (см. рисунок ниже). Можно заметить, что
то есть, треугольник ADB – прямоугольный (по теореме, обратной тереме Пифагора) с гипотенузой DB и углом A=90º.
Рассмотрим треугольник DCB, в котором DC=96, BC=28, DB=100, имеем:
,
то есть, треугольник DCB – прямоугольный с гипотенузой DB и углом C=90º.
Получаем, что 
, значит, 
. Равенство суммы противоположных углов
означает, что вокруг четырехугольника ABCD
можно
описать окружность.
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: