Задание 26. В трапеции ABCD основания AD и ВС равны соответственно 36 и 12, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки А и В и касающейся прямой CD, если АВ = 13.
Решение.
1.
Продлим отрезки AB и DC, которые пересекутся в точке K (см. рисунок
ниже). По условию 
,
следовательно, 
(сумма
углов в любом треугольнике 180º) и треугольник ADK – прямоугольный.
2. Рассмотрим подобные треугольники BKC и AKD (по двум углам) с коэффициентом подобия k=1/3 (так как BC:AD = 1:3). Запишем отношение:
Значит, AK=AB+BK=13+6,5=19,5.
3. Отрезок KN – касательная к окружности в точке N, а AK – секущая этой касательной, следовательно,
4. Рассмотрим квадрат NOFK, в котором FO=KN=6,5√3, OB=R – радиус окружности и BF=NO-BK = R-6,5. Тогда из прямоугольного треугольника FBO, имеем:
Ответ: 13.
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: