Задание 14. В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а АВ = ВС = АС= 14.
а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На рёбрах DA и DC отмечены точки М и N соответственно, причём DM : MA = DN : NC = 6:1. Найдите площадь сечения MNB.
Решение.
а) Пирамида ABCD с основанием ABC называется правильной, если в основании лежит правильный треугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой (центр правильного треугольника – это центр вписанной в него окружности).
По
условию задачи треугольник ABC – правильный, так как АВ = ВС = АС= 14.
Проведем отрезок DO, где D – вершина пирамиды; O – центр
треугольника ABC. Докажем, что DO – высота, то
есть, 
.
По
условию задания 
,
следовательно, 
и
, откуда
имеем, что 
(так
как DO лежит в
плоскости DAK). Аналогично
доказывается, что 
по
признаку перпендикулярности прямой и плоскости. Следовательно, DO – высота
пирамиды, а сама пирамида ABCD – правильная.
б) Треугольники DMN и DAC подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Следовательно, можно записать следующее отношение:
,
откуда
.
Так как пирамида правильная, то
и
-
равнобедренный.
Рассмотрим прямоугольный треугольник BDC, в котором обозначим BD=DC=7x, а сторона BC=14 по условию.
Согласно
теореме Пифагора 
или
в виде
То
есть, 
(так как DN : NC = 6:1, то NC=x).
Найдем
BN из треугольника
BNC, в котором 
(так как 
, что следует из
равнобедренного, прямоугольного треугольника BDC). Тогда, в
соответствии с теоремой косинусов, имеем:
Соответственно,
. Площадь сечения MNB равна площади равнобедренного треугольника MNB со сторонами BM=BN и основанием MN=12.
Высота
и площадь
треугольника MNB:
Ответ: 
.
Другие задания:
Для наших пользователей досутпны следующие материалы: