Задание 16. В трапеции ABCD основание AD в два раза меньше основания ВС. Внутри трапеции взяли точку М так, что углы ВАМ и CDM прямые.
а) Докажите, что ВМ = СМ.
б) Найдите угол ABC, если угол BCD равен 57°, а расстояние от точки М до прямой ВС равно стороне AD.
Решение.
а) Проведем лучи BA и CD, которые
пересекаются в точке F (см. рисунок). Так как ABCD трапеция, то 
и треугольники BFC и AFD подобны с
коэффициентом подобия k=2 (так как BC = 2AD). Отсюда
следует, что A – середина BF, а D – середина FC. По условию 
, поэтому AM и DM – серединные
перпендикуляры к сторонам треугольника BFC, а значит,
точка M – центр описанной
окружности, а MB и MC – радиусы этой
окружности, то есть MB = MC.
б) MN – расстояние от
точки M до BC, то есть, 
, откуда следует, что
треугольники 
.
Данные треугольники прямоугольные и равнобедренные, следовательно, углы при
основании равны по 45°.
Следовательно, 
.
Также из рисунка видно, что угол BFC – вписанный в окружность и опирается на
дугу BC, следовательно,
его градусная мера равна половине дуги BC. В свою очередь
градусная мера дуги BC равна центральному углу BMC = 90°, на
которую он опирается, то есть:
.
Рассмотрим треугольник FBC, в котором угол
и,
так как, 
,
получаем искомый ответ.
Ответ: 78.
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: