Задание 14. На ребре SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка М, причём SM : МА = 5:1. Точки P и Q — середины рёбер ВС и AD соответственно.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ является равнобедренной трапецией.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.
Решение.
а) Пусть N — такая точка на ребре SB, что SN:NB = 5:1.
Треугольники SAB и SMN подобны по двум
пропорциональным сторонам и углу между ними. Значит, 
,
а прямые AB
и MN
параллельны,
.
Прямая PQ также
параллельна прямой АВ. Значит, отрезки MN и PQ параллельны и не
равны, и поэтому сечение пирамиды плоскостью MPQ — это трапеция MNPQ.
Треугольники MAQ и NBP равны, поскольку
MA = NB, QA = PB,
и 
, поэтому MQ = NP, а
значит, трапеция MNPQ равнобедренная.
б) Пусть объём пирамиды SABCD равен V. Пятигранник AMQBNP состоит из четырёхугольной пирамиды MABPQ с основанием ABPQ и треугольной пирамиды MBNP с основанием BNP.
Расстояние
от точки М до плоскости BNP относится к
расстоянию от точки A до этой
плоскости как 5:6, а площади
треугольников BNP
и SBC относятся как 1:12. Значит, отношение объёмов пирамид MBNP и ASBC равно 5:72, то есть объём пирамиды MBNP равен 
.
Площадь
прямоугольника ABPQ составляет половину площади квадрата ABCD. Расстояние
от точки М до плоскости ABCD относится к
расстоянию от точки S до этой плоскости как 1: 6, поэтому
объём пирамиды MABPQ равен 
.
Таким
образом, объём AMQBNP равен 
то есть отношение объёмов многогранников AMQBNP и CDSNPQM равно 17 : 127.
Ответ: 17 : 127.
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: