Задание 26. Два игрока играют в следующую игру. Перед ними лежат две кучки камней, в первой из которых 6, а во второй — 5 камней. У каждого игрока неограниченно много камней. Игроки ходят по очереди. Ход состоит в том, что игрок увеличивает или в 2 раза, или в 3 раза число камней в какой-то куче.
Выигрывает игрок, после хода которого общее число камней в двух кучах становится не менее 48. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков — игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй ход? Каким должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте.
Решение.
Выигрывает второй игрок.
Для доказательства рассмотрим неполное дерево игры, оформленное в виде таблицы, где в каждой ячейке записаны пары чисел, разделённые запятой. Эти числа соответствуют количеству камней на каждом этапе игры, в первой и второй кучах соответственно.
|
1-й ход |
2-й ход |
3-й ход |
4-й ход |
|
Стартовая позиция |
I-й игрок (все варианты хода) |
II-й игрок (выигрышный ход) |
I-й игрок (все варианты хода) |
II-й игрок (один из вариантов) |
Пояснение |
6,5 |
12,5 |
12.10 |
24,10 |
72.10 |
Второй игрок выигрывает на четвертом ходу, после любого ответа первого игрока, например, утроив число камней в самой большой куче |
36,10 |
108.10 |
||||
12,20 |
12,60 |
||||
12,30 |
12,90 |
||||
6,10 |
12.10 |
Те же варианты третьего-четвёртого ходов |
|||
18,5 |
54,5 |
Второй игрок выигрывает ответным ходом |
|||
6,15 |
6.45 |
Второй игрок выигрывает ответным ходом |
Таблица содержит все возможные варианты ходов первого игрока. Из неё видно, что при любом ходе первого игрока у второго имеется ход, приводящий к победе.
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: