Задание 16. В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами АВ = √5 и ВС = 2. Длины боковых ребер пирамиды SA = √7,SB = 2√3 ,SD = √11
а) Докажите, что SA - высота пирамиды
б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB
Решение.
а)
Рассмотрим треугольник SAB, у которого стороны 
, 
, 
. Из значений этих сторон следует, что 
, то есть в
соответствии с теоремой Пифагора треугольник SAB прямоугольный с
гипотенузой SB, а 
. Рассмотрим теперь
треугольник SAD со сторонами , 
, 
, откуда видно, что 
, следовательно SAD прямоугольный
треугольник и 
.
Таким образом из и
следует, что 
, т.е. SA – высота пирамиды
по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
б)
Угол между прямой SC и плоскостью ASB равен углу
между прямыми SC и SB (см. рисунок).
Ранее было установлено, что 
по теореме о трех перпендикулярах,
следовательно, треугольник SBC прямоугольный. Это дает возможность
вычислить тангенс искомого угла:
,
то есть
.
Ответ: 30.
Для наших пользователей доступны следующие материалы: