Задание 16. На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E:EA = 5:3, на ребре BB1 - точка F так, что B1F : FB = 5:11, а точка T - середина ребра B1C1. Известно, что AB = 6√2, AD = 10, AA1 = 16.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT .
Решение.
а)
По условию задачи 
и
,
следовательно, 
и
. Аналогично
для 
,
следовательно, 
и
. Из
полученных значений длин отрезков видно, что подобные треугольники 
и 
имеют коэффициент подобия 
, т.е. треугольник имеет длины сторон в 2
раза меньше соответствующих длин треугольника . В частности, это означает, что точка T будет
проецироваться в точку 
при масштабировании плоскости EFT, т.е. плоскость
EFT будет проходить
через точку .
б)
Найдем площадь сечения 
. Найдем длину отрезка 
. Для этого рассмотрим
прямоугольный треугольник 
, из которого по теореме Пифагора, имеем:
.
Найдем
аналогичным образом длину отрезка 
из прямоугольного треугольника 
(здесь длина 
):
.
Равенство
сторон и означает, что сечение является равнобедренной
трапецией.
Найдем
длину отрезка FT из
прямоугольного треугольника :
,
длину
отрезка 
из
прямоугольного треугольника :
.
Зная основания равнобедренной трапеции, можно найти длину EH по формуле:
и
из прямоугольного треугольника 
находим высоту трапеции 
:
Таким образом, площадь сечения, равна:
Ответ: 97,5.
Для наших пользователей доступны следующие материалы: