ЕГЭ и ОГЭ
Главная > Авторские издания > Теория вероятностей для школьников (с абсолютного нуля)

Скачать книгу

Учимся вычислять вероятность суммы двух событий

Снова вернемся к, ставшей для нас уже классической, игре в «слепой» дартс, и рассмотрим случай с двумя мишенями, показанный на рис. 5. Правила игры такие: если игрок попадает в любую из двух мишеней, то ему начисляются соответствующие очки. Чтобы оценить эффективность игры, нас будет интересовать вероятность попадания дротика в мишень (не важно какую). Для этого определим такое событие:

C: дротик попал в одну из двух мишеней

и еще два вспомогательных:

A: дротик попал в первую мишень;

B: дротик попал во вторую мишень.

Как вычислить вероятность события C? Ранее мы с вами говорили, что эта вероятность будет равна доли площади мишеней на стене, которую можно вычислить по формуле

,

где  – площадь мишени A;  – площадь мишени B;  – площадь стены W. И если расписать эту формулу вот так:

,

то, замечая, что , а , получим:

По сути, последняя формула говорит, что доля площади двух мишеней равна сумме долей каждой из них. Действительно, из рис. 5 мы это наглядно видим. А, учитывая, что доли – это и есть вероятности соответствующих событий, то мы с вами получили формулу сложения вероятностей двух несовместных событий. Кроме того, эту же формулу можно записать и в таком виде:

Она показывает, что в теории вероятностей случайные события можно складывать и получать третье:

И мы теперь знаем, что событие C интерпретируется как появление или события A или события B в ходе проведения эксперимента (в нашем примере попадание дротика в одну из двух мишеней).

Чтобы лучше понимать, как использовать формулу сложения вероятностей несовместных событий, рассмотрим несколько задач из ЕГЭ.

Задача 1. Однократно бросается игральный кубик. Требуется определить вероятность выпадения числа 1 или числа 3.

Решение.

Для решения этой задачи введем два события:

A: выпало число 1;

B: выпало число 3.

Очевидно, что в рамках данной задачи эти события несовместны. Их условно можно представить как две мишени: или попадаем в первую мишень (при броске кубика выпадает число 1), или попадаем во вторую мишень (при броске кубика выпадает число 3). Как видите, с точки зрения теории вероятностей, все то же самое, только вместо дротиков бросается кубик. И здесь нас интересует событие

,

вероятность которого, равна:

Ранее мы уже вычисляли вероятность выпадения грани кубика (не важно с каким числом). Она равна  и искомая вероятность

Ответ: .

Некоторые из вас могли заметить, что мы уже решали эту задачу, но с другими рассуждениями. Мы определяли полную группу элементарных несовместных событий размером , находили в ней число благоприятных исходов  для нашего события C и, затем, по формуле  вычисляли искомую вероятность. По сути, оба этих способа – это одно и то же. Они только записаны по-разному. Однако, как мы сейчас увидим, смотреть на подобные задачи с точки зрения формулы сложения вероятностей, бывает много эффективнее. Хотя простые задачи часто удобнее решать через формулу .

Задача 2. Вероятность того, что новый сканер прослужит больше года, равна 0,96. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение.

Здесь нам даны вероятности двух событий. Определим их:

A: сканер прослужит больше года;

B: сканер прослужит больше двух лет.

Соответственно, , . По условию задачи нужно найти вероятность события C, которое сформулируем так:

C: сканер прослужит больше года, но меньше двух лет.

Для простоты понимания решения, ниже на рисунке условно представлены три события A, B и C.

Теперь, если перейти к противоположному событию , то оно будет означать, что сканер прослужит не более года и в результате получаем два несовместных события  и , которые в сумме дают событие

: сканер прослужит не более двух лет.

Но это есть не что иное, как событие , значит, мы можем записать равенство для вероятностей этих событий:

Также мы уже знаем, что

Следовательно,

И, подставляя числовые значения, находим искомую вероятность:

Ответ: 0,09.

Как видите, решить подобные задачи без применения формулы сложения вероятностей и использования противоположных событий, было бы крайне проблематично.

Давайте снова вернемся к нашей «слепой» игре в дартс, но теперь мишени будут частично наложены друг на друга (рис. 6). И рассмотрим те же три события:

A: дротик попал в первую мишень;

B: дротик попал во вторую мишень;

C: дротик попал в одну из двух мишеней.

Как мы ранее говорили, вероятность события C – это доля площади двух мишеней по отношению к площади всей стены:

Но, если мы будем вычислять площадь мишеней, как и раньше, а именно:

,

то у нас область пересечения будет посчитана дважды (рис. 7). Это даст неверную суммарную площадь мишеней на стене и вероятность события C будет посчитана неправильно. Для исправления этой ситуации необходимо из суммы  один раз вычесть площадь пересечения .

Рис. 7. Площадь мишеней при их частичном пересечении

Но как ее посчитать? Для этого внимательно посмотрим на рис. 7, из которого хорошо видно, что в области пересечения находятся точки, относящиеся и к мишени A и к мишени B. Значит, область пересечения состоит из событий, при которых происходит одновременное появление и события A и события B. Но мы уже знаем, что такие события записываются через произведение:

а, вероятность такого произведения событий

в нашем случае будет в точности равна доли площади этого пересечения по отношению к площади всей стены, то есть,

В результате формула вычисления вероятности суммы двух событий A и B в данных условиях может быть записана так:

Видите? Мы здесь в числителе сложили площади двух мишеней и вычли площадь их пересечения. И окончательно формула вероятности суммы двух событий принимает вид:

В каких случаях следует использовать эту формулу? Как вы, наверное, уже заметили, события A и B стали совместными из-за пересечения мишеней. И именно эта совместность добавляет к формуле последнее слагаемое . Поэтому здесь следует пользоваться таким правилом:

Если два события A и B несовместны, то достаточно использовать формулу

Если же два события A и B совместны, то необходимо применять формулу

Причем, обратите внимание, в общем случае можно всегда пользоваться последней формулой, которая при несовместных событиях будет давать  и она автоматически превратится в обычное сложение вероятностей двух событий. Однако, при решении задач по ЕГЭ, конечно, лучше сначала определять тип событий: совместные или несовместные, и после этого выбирать одну из двух формул.

Давайте теперь для закрепления материала рассмотрим несколько задач по ЕГЭ на использование этих формул.

Задача 3. На экзамене по геометрии школьнику достается один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Ромб», равна 0,1. Вероятность того, что это вопрос на тему «Описанная окружность», равна 0,15. Вероятность того, что вопрос одновременно относится к этим двум темам, равна 0,05. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение.

Определим два случайных события:

A: школьнику на экзамене достался вопрос на тему «Ромб»;

B: школьнику на экзамене достался вопрос на тему «Описанная окружность».

Так как есть вопросы, которые одновременно относятся к этим двум темам, то события A и B совместны.

В этой задаче нужно найти вероятность того, что школьник выберет вопрос или на тему «Ромб» или на тему «Описанная окружность». В теории вероятностей союз «или» означает сложение событий, поэтому мы будем искать

Все эти вероятности нам даны по условию задачи:

Вычисляем, получаем:

Ответ: 0,2.

Задача 4. В магазине канцтоваров продается 120 ручек, из них 15 – красных, 22 – зеленых, 27 – фиолетовых, еще есть синие и черные, их поровну. Найдите вероятность того, что Алиса наугад вытащит синюю или зеленую ручку.

Решение.

Так как в задаче нужно найти вероятность того, что Алиса выберет или синюю или зеленую ручку, то нам понадобятся два таких события:

A: Алиса наугад выбирает синюю ручку;

B: Алиса наугад выбирает зеленую ручку.

Учитывая, что Алиса вытаскивает только одну ручку, то события A и B несовместны. Далее, мы видим союз «или» в формулировке задачи, значит, нужно найти вероятность

Вероятность  – это доля синих ручек, а вероятность  – это доля зеленых ручек. Вычислим их. Всего имеем ручек. Из них  – зеленых и  – синих. Следовательно,

 и

Получаем значение искомой вероятности:

Ответ: 5/12.

Видео по теме