ЕГЭ и ОГЭ
Главная > Авторские издания > Теория вероятностей для школьников (с абсолютного нуля)

Скачать книгу

Что такое совместные и несовместные события

Давайте вернемся к нашей игре в дартс «в слепую», когда игрок бросает дротики с закрытыми глазами в мишень на стене так, что они равномерно распределяются по всей ее поверхности и не вылетают за пределы. Но теперь мишеней будет две (рис. 5), для которых определим два таких случайных события:

A: дротик попал в первую мишень;

B: дротик попал во вторую мишень.

Рис. 5. Красные точки – следы от дротиков; синий круг (A) – первая мишень; синий круг (B) – вторая мишень; прямоугольник (W) – фрагмент стены.

Из рисунка наглядно видно, что бросая дротик, он может попасть или в мишень A, или в мишень B, или в стену. И не может возникать ситуаций, когда дротик одновременно попадает и в мишень A и в мишень B. То есть, события A и B не могут происходить одновременно при однократном бросании дротика. В теории вероятностей такие события называют несовместными.

Итак, события называются несовместными, если в ходе проведения эксперимента они не могут происходить одновременно.

Теперь повесим мишени так, чтобы они пересекались (рис. 6). И если дротик попадает в их пересечение, то это будет означать, что он попал в обе мишени. Это означает, что те же два события A и B здесь уже могут происходить одновременно, а значит, они становятся совместными.

События называются совместными, если в ходе проведения эксперимента они могут происходить одновременно.

Рис. 6. Красные точки – следы от дротиков; синий круг (A) – первая мишень; синий круг (B) – вторая мишень; прямоугольник (W) – фрагмент стены.

Обратите внимание на слово «могут». Совместные события не обязательно происходят одновременно в каждом эксперименте. Они, также как и несовместные, могут появляться и по отдельности. И, как правило, лишь в некоторых случаях происходят совместно.

Чтобы лучше понять, какие события следует относить к совместным, а какие – к несовместным, приведем несколько примеров из задач по ЕГЭ.

Пример 1. Предположим, однократно бросается игральный кубик и рассматриваются два события:

A: выпадение числа 2;

B: выпадение числа 5.

Очевидно, что когда кубик бросается один раз, то сразу две его грани выпасть не могут, значит, события A и B не происходят одновременно, следовательно, они несовместные.

А вот если в эксперименте бросаются сразу два игральных кубика, то на одном из них вполне может выпасть число 2, а на другом – число 5. Значит, при такой постановке задачи события A и B становятся совместными.

Пример 2. Имеется фонарь с тремя одинаковыми лампами. Требуется найти вероятность того, что все три лампы не перегорят в течение года. Для решения вводятся три случайных события:

A: первая лампа перегорит в течение года;

B: вторая лампа перегорит в течение года;

C: третья лампа перегорит в течение года.

Являются ли эти события совместными или несовместными? Конечно, они совместные, так как в течение года могут перегореть все три лампы, а значит, произойдут все три события. Но если события сформулировать вот так:

A: первая лампа перегорит в течение первого года;

B: вторая лампа перегорит в течение второго года;

C: третья лампа перегорит в течение третьего года.

То при рассмотрении периода в один год события становятся несовместными, так как в течение года может произойти только событие A.

Обратите внимание, как изменение формулировок событий одной и той же задачи приводит к кардинальному изменению их свойств. Это одна из многих причин, по которой задачи по теории вероятностей нужно очень внимательно читать и также внимательно прописывать ход их решения.

Видео по теме