ЕГЭ и ОГЭ
Главная > Авторские издания > Теория вероятностей для школьников (с абсолютного нуля)

Скачать книгу

Разбираем задачки из ЕГЭ на умножение вероятностей

Задача 1. Павел Иванович совершает прогулку из точки I по дорожкам парка. На каждой развилке он наудачу выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Схема дорожек показана на рисунке. Найдите вероятность того, что Павел Иванович попадет в точку G.

Решение.

Давайте для начала рассмотрим процесс выбора дорожек, позволяющий Павлу Ивановичу из точки I дойти до точки G. Сначала он попадает на развилку в точке C и, так как назад не идет, то остаются три равновероятных варианта, показанные зелеными отрезками на рисунке ниже. Это означает, что из точки C Павел Иванович попадет в точку A с вероятностью . Затем, из точки A имеется только одна дорожка для продолжения пути, соответственно, она выбирается с вероятностью . Далее, попадая в точку B, Павел Иванович может с равной вероятностью выбрать одну из двух дорожек: или в точку D, или в точку G. Вероятность того, что он выберет направление к G, равна .

Теперь заметим, что Павел Иванович дойдет до точки G, если он сначала пройдет в точку A (вероятность 1/3), затем, в точку B (вероятность 1) и, наконец, дойдет до точки G (вероятность 1/2). То есть, должны произойти все эти три события. А это есть не что иное, как их произведение:

Учитывая, что все три события независимы, получаем:

Ответ: 1/6.

В ЕГЭ часто встречаются задачи когда нужно определить вероятность выступления, например, 5-м по счету какого-либо спортсмена, музыканта или ученого. Вот типовая формулировка.

Задача 2. На соревнованиях по плаванию выступает 5 спортсменов из Италии, 4 из Германии, 6 из России и 3 из Китая. Порядок выступлений каждого спортсмена определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что 3-м по счету будет выступать спортсмен из России.

Решение.

Самый главный вопрос здесь: как это 3-е место влияет на искомую вероятность? Ответ очень простой – никак! Здесь абсолютно не важно о каком месте идет речь, имеет значение только то, что оно одно и на это одно место претендует

спортсменов и среди них  из России. Получаем решение задачи в виде

Ответ: 1/3.

Но почему это именно так? Данную задачу можно представить еще в таком виде. Сначала мы случайным образом составляем список из 18 спортсменов, записываем их сверху вниз, и нумеруем от 1 до 18. Номер перед фамилией спортсмена – это и есть очередность его выступления. Теперь, куда бы мы не ткнули наугад пальцем в этом списке, в любой его позиции вероятность увидеть фамилию российского спортсмена будет равна 1/3. То есть, нам не важно какая это будет позиция: 3-я, 10-я или 18-я и т.д. Вот почему номер выступления здесь не важен.

Однако, подобная задача может быть усложнена и сформулирована таким образом.

Задача 3. В соревнованиях по плаванию участвуют 4 спортсмена из Германии, 6 спортсменов из Италии, 7 спортсменов из России и 5 из Китая. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что хотя бы один спортсмен из Италии будет выступать первым, вторым или третьим.

Решение.

Смотрите, во-первых, здесь у нас уже три места, вместо одного как в предыдущем случае. И, во-вторых, нужно найти вероятность того, что хотя бы один пловец из Италии будет стоять на этих трех местах. Здесь можно заметить, что инверсия случайного события «хотя бы один» означает «ни одного». Поэтому решить задачу проще через вычисление вероятности того, что на всех трех местах не будет ни одного спортсмена из Италии, а затем, найти противоположную вероятность. Для начала введем три события:

A: на первом месте нет пловца из Италии;

B: на втором месте нет пловца из Италии;

C: на третьем месте нет пловца из Италии.

И, очевидно, нам нужна вероятность . Чтобы расписать эту формулу нужно определиться: являются ли эти события зависимыми или нет? В данном случае они будут зависимыми, так как при возникновении события A остается на одного пловца меньше. Аналогично и для событий B и C. Значит, формулу следует записать в виде:

Вероятность события A при  пловцах и из них  не из Италии, равна

После того, как событие A произошло, остается  пловец и , значит, вероятность события B, равна:

По аналогии, вероятность события C (при ):

Вычисляем произведение вероятностей этих событий, имеем:

И обратная вероятность, соответствующая тому, что хотя бы один пловец из Италии будет на первых трех местах, равна:

Ответ: 7/11.

А вот следующую задачу решите самостоятельно. Обратите внимание здесь на фразу «хотя бы один» и примените тот же прием, что мы только что рассмотрели.

Задача 4. В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Видео по теме