ЕГЭ и ОГЭ
Главная > Авторские издания > Теория вероятностей для школьников (с абсолютного нуля)

Скачать книгу

Парадокс Монти Холла

Вот мы с вами и рассмотрели основные теоретические моменты и некоторые практические задачи по теории вероятностей. Этих знаний вам будет вполне достаточно, чтобы решать соответствующие задачи по ОГЭ и ЕГЭ. Но представленная здесь теория становится знаниями только тогда, когда вы приобретаете навык правильно ее применять на практике. А для этого нужно решать самые разнообразные задачи на вероятность.

В качестве одного интересного примера мы сейчас посмотрим на довольно простую задачку, которая в свое время удивила многих обывателей и даже специалистов в этой области. Эта задачка была навеяна американской телевикториной «На что спорим?», которая шла с 1963 по 1976 годы. Ее ведущим был Монти Холл. И звучала примерно так. Представьте, что перед вами три закрытые двери: за двумя из них по козе, а за одной – автомобиль. Разумеется, вы не знаете где что находится. Ведущий предлагает вам выбрать одну из трех дверей. После этого он открывает другую дверь, за которой находится коза и спрашивает: хотите ли вы поменять свое решение? То есть, по сути, он спрашивает: повысится ли шанс выиграть автомобиль, если изменить свое решение и выбрать другую закрытую дверь?

Рис. 8. Иллюстрация выбора дверей в парадоксе Монти Холла

Впервые столкнувшись с такой задачей, большинство математиков рассуждало так. Изначально (при всех закрытых дверях) вероятность выбора автомобиля составляет . После того, как ведущий открыл одну дверь, за которой нет автомобиля, осталось две двери и за одной из них находится автомобиль. Следовательно, теперь вероятность правильного выбора составляет .

Кажется, здесь все просто, понятно и логично. Однако в 1990 году Мэрилин вос Савант в колонке популярного журнала «Пэрэйд» (англ. «Parade») опубликовала свой ответ на этот вопрос [1]. Ее решение повергло в шок и возмутило своим невежеством не только маститых профессоров математики, но даже простых обывателей! Суть ее ответа заключалась в следующем. Вероятность выбора двери, за которой скрывается автомобиль, равна . Когда ведущий открывает дверь с козой, эта вероятность не меняется, так как выбор был сделан до того, как он открыл эту дверь. Даже если открыть все три двери после сделанного выбора, все равно вероятность останется 1/3, потому что это понятие о «среднем», а не о конкретной ситуации. Итак, после открытия двери, за которой прячется коза, вероятность остается прежней – 1/3. Но тогда выходит, что оставшиеся две двери (первая с козой, а вторая закрытая, но не выбранная) составляют вероятность 2/3, что за ними автомобиль. И, так как ведущий показал нам, что в данной конкретной ситуации за одной из этих двух дверей нет автомобиля, значит, за другой будет находиться автомобиль, но уже с вероятностью 2/3. Благодаря тому, что ведущий показал нам где нет автомобиля, мы, меняя свое решение, как бы выбираем сразу две другие оставшиеся двери. И, соответственно, увеличиваем свой шанс выиграть автомобиль до 2/3. В некотором смысле это похоже на ситуацию, когда нам удалось подсмотреть часть скрытых карт соперника, что повышает наш шанс на выигрыш.

На свой опубликованный ответ о смене двери Мэрилин получила шквал писем (порядка 10 тысяч), в которых около 92% корреспондентов отмечали, что она ошибается. Среди авторов были и преподаватели математики, в том числе и с докторскими степенями. Их возмущало невежество Мэрилин в таких простых вопросах теории вероятностей.

Среди несогласных был известнейший математик Палу Эрдёшу [1]. Он стоял на своем, даже после математического доказательства правильности ответа Мэрилин. И сдался только тогда, когда было проведено компьютерное моделирование данной задачи и показана справедливость ее рассуждений.

Парадокс Монти Холла – это, наверное, самый яркий представитель задач по теории вероятностей, демонстрирующий как наша повседневная логика и интуиция идут вразрез с истинным положением дел. Как же нам не попасть в такую ситуацию и подобно Мэрилин вос Савант видеть суть вещей? Выход здесь только один: тренироваться на решениях разнообразных задач и учиться правильно логически рассуждать. Как раз сейчас мы и рассмотрим несколько типовых задач по теории вероятностей.

Видео по теме