ЕГЭ и ОГЭ
Главная > Авторские издания > Теория вероятностей для школьников (с абсолютного нуля)

Скачать книгу

Разбираем задачки из ЕГЭ на сложение вероятностей

Сначала рассмотрим похожую задачу на вероятность выступления под тем или иным номером. Обратите внимание, как формулировки заданий меняют суть решений. Например, в следующей задаче нужно использовать формулу сложения вероятностей, вместо умножения.

Задача 1. В соревнованиях по плаванию участвуют 4 спортсмена из Германии, 6 спортсменов из Италии, 7 спортсменов из России и 5 из Китая. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что спортсмен из Италии Джованни Лучио будет выступать первым, вторым или третьим.

Решение.

Здесь мы сразу видим союз «или» в формулировке задачи «найти вероятность, что спортсмен будет выступать или первым или вторым или третьим». Этот союз означает сложение следующих событий:

A: Джованни Лучио будет выступать первым;

B: Джованни Лучио будет выступать вторым;

C: Джованни Лучио будет выступать третьим.

Так как речь идет о конкретном спортсмене, то число благоприятных исходов для него, равно . Всего же равновероятных исходов . Получаем вероятности появлений событий A, B и C:

Учитывая, что эти события несовместны (Джованни Лучио не может одновременно выступать на двух местах), получаем значение искомой вероятности:

Ответ: 3/22.

А теперь немного изменим формулировку этой задачи и запишем ее так.

Задача 2. В соревнованиях по плаванию участвуют 4 спортсмена из Германии, 6 спортсменов из Италии, 7 спортсменов из России и 5 из Китая. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что спортсмены из Италии будут выступать первыми или вторыми.

Решение.

Видите? Здесь речь идет уже не о конкретном пловце, а обо всех спортсменах из Италии. И это кардинально меняет решение, так как следующие события становятся совместными:

A: на первом месте выступает пловец из Италии;

B: на втором месте выступает пловец из Италии.

Нам нужно найти вероятность , которая для совместных событий записывается в виде:

Сначала найдем вероятности событий A и B. Так как всего участников  и из них  из Италии, то

Теперь вычислим вероятность произведения событий A и B. Видим, что эти события зависимы, так как при возникновении события A (первым участвует пловец из Италии), остается меньше на одного пловца и на одного спортсмена из Италии. Поэтому,

где . Соответственно,

Подставляем все числовые значения в формулу суммы, получаем искомую вероятность:

Ответ: 37/77.

Задача 3. Помещение освещается фонарем с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,2. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение.

А) Через умножение событий. Обычно такие задачи решают с использованием противоположных событий. Сначала определяются два независимых события:

A: в течение года перегорит первая лампа;

B: в течение года перегорит вторая лампа.

Затем, вычисляется вероятность того, что и первая и вторая лампы перегорят, то есть, вычисляется вероятность произведения событий :

И, так как, по условию задачи , получаем:

.

Противоположное событие  будет означать «не перегорание хотя бы одной лампы». Вероятность этого события, равна:

Б) Через сложение событий. Эту же задачу можно решить и через сложение событий. Введем два события:

A: в течение года не перегорит первая лампа;

B: в течение года не перегорит вторая лампа.

Фраза «хотя бы одна лампа не перегорит» означает, что не перегорит первая лампа или не перегорит вторая лампа. То есть, нужно найти вероятность суммы событий . Очевидно, что эти события совместны – они могут произойти одновременно (в пределах года), следовательно,

Вероятности событий , а вероятность их произведения, равна

,

так как эти события независимы. Подставляем числовые значения в формулу, получаем:

Ответ: 0,96.

Этот пример показывает, что задачи по теории вероятностей можно решать разными способами и при верных решениях результаты неизбежно сойдутся. Ниже представлена похожая задача. Попробуйте ее решить самостоятельно двумя способами.

Задача 4. По отзывам покупателей Михаил Михайлович оценил надежность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,61. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,83. Михаил Михайлович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что хотя бы один магазин доставит товар.

Видео по теме