ЕГЭ и ОГЭ
Главная > Авторские издания > Теория вероятностей для школьников (с абсолютного нуля)

Скачать книгу

Разбираем задачки из ЕГЭ на проценты

В первую очередь разберемся как проценты связаны с вероятностью. Ранее мы говорили, что вероятность – это доля возникновений событий при проведении экспериментов. А проценты – это, как раз, и есть доля. Например, 50% соответствует половине доли, то есть, вероятности 0,5. Если взять 100%, то получим целую долю или вероятность 1. В результате получается, что вероятность равна процентам, деленным на 100:

Однако, эта формула справедлива только в тех случаях, когда проценты  определены относительно 100%. А вот если, например, рассмотреть задачу, в которой из 100% изделий в продажу поступают только 86% и из них 6% брака, то вероятность выбора бракованного изделия, поступившего в продажу, будет уже равна

Почему это так? Дело в том, что выбор бракованного изделия осуществляется только из поступивших в продажу, значит, размер полной группы событий, в данном случае, можно определить как %. И в ней % составляет брак – размер группы благоприятных исходов (для случайного события). Отсюда автоматически получается, что

Следующая задача как раз и решается, исходя из такой логики рассуждений.

Задача 1. На фабрике керамической посуды 20% произведенных тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 70% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.

Решение.

Сначала нужно представить весь этот процесс у себя в голове. Здесь получается, что 20% составляет брак, значит, 100-20=80% тарелок без брака. В продажу поступают эти 80% тарелок и еще 100-70=30% дефектных. Разумеется, эти 30% следует брать от 20% всех бракованных изделий, то есть, в продажу поступает % брака. Итого из 100% произведенных тарелок в продажу идет 80%+6% = 86% изделий.

Теперь определим случайное событие A как «случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов». Мы вычислили, что доля изделий, поступивших в продажу, равна %, и среди них доля не бракованных составляет %. Получаем значение искомой вероятности:

Ответ: 0,93.

Задача 2. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ дает положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,02. Известно, что 66% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Решение.

Сначала представим эту задачу. Схематично она показана на рисунке ниже. Нам нужно найти вероятность положительного анализа.

Из рисунка видно, что положительный анализ может возникнуть в двух случаях:

A: когда пациент здоров, но анализ дал положительный результат;

B: когда пациент болен и анализ дал положительный результат.

Нас интересует вероятность возникновения или события A или события B, то есть, нужно вычислить . Очевидно, что события A и B несовместны, так как пациент не может быть одновременно и здоровым и больным. Поэтому, формула вероятности суммы двух случайных событий запишется в виде:

Найдем вероятности событий A и B. Событие A возникает когда пациент здоров (вероятность составляет 34/100 = 0,34) и анализ оказался положительным (вероятность 0,02). Следовательно,

Аналогично и для события B. Оно возникает когда пациент болен (вероятность 66/100=0,66) и анализ дал положительный результат (вероятность 0,9):

И искомая вероятность, равна:

Ответ: 0,6008.

Задача 3. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 30% этих стекол, вторая – 70%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая – 4%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение.

Изобразим схематично условия данной задачи (см. рисунок ниже). Из него хорошо видно, что стекло может оказаться бракованным в двух случаях:

A: стекло выпущено первой фабрикой и оно оказалось бракованным;

B: стекло выпущено второй фабрикой и оно оказалось бракованным.

Нас здесь интересует или возникновение события A или возникновение события B, то есть, нужно найти . Учитывая, что эти события несовместны (мы покупаем только одну фару, а она может быть произведена или 1-й или 2-й фабрикой), формула вероятности суммы двух событий записывается в виде:

Найдем вероятности событий A и B по аналогии с тем, как мы это делали в предыдущей задаче:

И искомая вероятность, равна:

Ответ: 0,037.

Видео по теме