Скачать книгу
В первую очередь разберемся как проценты связаны с вероятностью. Ранее мы говорили, что вероятность – это доля возникновений событий при проведении экспериментов. А проценты – это, как раз, и есть доля. Например, 50% соответствует половине доли, то есть, вероятности 0,5. Если взять 100%, то получим целую долю или вероятность 1. В результате получается, что вероятность равна процентам, деленным на 100:
Однако, эта формула справедлива только в тех
случаях, когда проценты 
определены относительно 100%. А вот если,
например, рассмотреть задачу, в которой из 100% изделий в продажу поступают
только 86% и из них 6% брака, то вероятность выбора бракованного изделия,
поступившего в продажу, будет уже равна
Почему это так? Дело в том, что выбор бракованного
изделия осуществляется только из поступивших в продажу, значит, размер полной
группы событий, в данном случае, можно определить как 
%. И в ней 
% составляет брак – размер группы
благоприятных исходов (для случайного события). Отсюда автоматически
получается, что
Следующая задача как раз и решается, исходя из такой логики рассуждений.
Задача 1. На фабрике керамической посуды 20% произведенных тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 70% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.
Решение.
Сначала нужно представить весь этот процесс у себя в
голове. Здесь получается, что 20% составляет брак, значит, 100-20=80% тарелок
без брака. В продажу поступают эти 80% тарелок и еще 100-70=30% дефектных.
Разумеется, эти 30% следует брать от 20% всех бракованных изделий, то есть, в
продажу поступает 
%
брака. Итого из 100% произведенных тарелок в продажу идет 80%+6% = 86% изделий.
Теперь определим случайное событие A
как
«случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов». Мы вычислили, что
доля изделий, поступивших в продажу, равна %, и среди них доля не бракованных
составляет 
%.
Получаем значение искомой вероятности:
Ответ: 0,93.
Задача 2. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ дает положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,02. Известно, что 66% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.
Решение.
Сначала представим эту задачу. Схематично она показана на рисунке ниже. Нам нужно найти вероятность положительного анализа.
Из рисунка видно, что положительный анализ может возникнуть в двух случаях:
A: когда пациент здоров, но анализ дал положительный результат;
B: когда пациент болен и анализ дал положительный результат.
Нас интересует вероятность возникновения или события
A или события B,
то есть, нужно вычислить 
. Очевидно, что события A
и B несовместны, так как пациент не
может быть одновременно и здоровым и больным. Поэтому, формула вероятности
суммы двух случайных событий запишется в виде:
Найдем вероятности событий A и B. Событие A возникает когда пациент здоров (вероятность составляет 34/100 = 0,34) и анализ оказался положительным (вероятность 0,02). Следовательно,
Аналогично и для события B. Оно возникает когда пациент болен (вероятность 66/100=0,66) и анализ дал положительный результат (вероятность 0,9):
И искомая вероятность, равна:
Ответ: 0,6008.
Задача 3. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 30% этих стекол, вторая – 70%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая – 4%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
Решение.
Изобразим схематично условия данной задачи (см. рисунок ниже). Из него хорошо видно, что стекло может оказаться бракованным в двух случаях:
A: стекло выпущено первой фабрикой и оно оказалось бракованным;
B: стекло выпущено второй фабрикой и оно оказалось бракованным.
Нас здесь интересует или возникновение события A
или возникновение события B,
то есть, нужно найти .
Учитывая, что эти события несовместны (мы покупаем только одну фару, а она
может быть произведена или 1-й или 2-й фабрикой), формула вероятности суммы
двух событий записывается в виде:
Найдем вероятности событий A и B по аналогии с тем, как мы это делали в предыдущей задаче:
И искомая вероятность, равна:
Ответ: 0,037.