ЕГЭ и ОГЭ
Главная > Авторские издания > Теория вероятностей для школьников (с абсолютного нуля)

Скачать книгу

Задачки повышенной сложности

До сих пор мы с вами рассматривали, в основном, задачи, где нужно было или умножить или складывать вероятности событий. Здесь же разберем несколько задач, в которых используются оба подхода для расчета вероятности события.

Задача 1. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,05. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,98. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,08. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Решение.

В данной задаче нужно найти вероятность того, что батарейка будет забракована. Это может произойти при двух несовместных исходах:

A: батарейка исправна и она бракуется;

B: батарейка неисправна и она бракуется.

Из формулировки видно, что событие A состоит из двух независимых событий: батарейка исправна (вероятность 1-0,05=0,95) и она бракуется системой контроля (вероятность 0,08). Получаем вероятность события A:

Аналогично для события B: батарейка неисправна (вероятность 0,05) и она бракуется системой (вероятность 0,98):

В результате получаем значение искомой вероятности:

Ответ: 0,125.

Задача 2. Артём гуляет по парку. Он выходит из точки S и, дойдя до очередной развилки, с равными шансами выбирает следующую дорожку, но не возвращается обратно. Найдите вероятность того, что таким образом он выйдет к пруду или фонтану.

Решение.

Введем два несовместных события:

A: Артем случайным образом дошел до пруда;

B: Артем случайным образом дошел до фонтана.

Теперь рассмотрим ситуации, при которых Артем может дойти до пруда из точки S. Первый вариант, когда он в точке A случайным образом выберет дорогу в точку B. Вероятность этого события равна 1/4, так как имеется  дорожки для продолжения пути (одну из них он выбирает с равной вероятностью) и только одна  ведет в точку B. Получаем . Затем, из точки B он может пройти по двум из четырех дорожек к пруду (вероятность этого события 2/4=1/2). Таким образом, вероятность маршрута S-A-B-пруд, равна

Второй маршрут, ведущий к пруду, проходит через точки A и C. Вероятность того, что он из A пойдет в C, равна 1/4. А вероятность из точки C повернуть к пруду – 1/2. Получаем вероятность выбора маршрута S-A-C-пруд:

Так как эти маршруты несовместны, то общая вероятность того, что Артем из S дойдет до пруда, равна:

По аналогии найдем вероятность выбора маршрута S-A-C-D-фонтан. Для этого Артем должен с вероятностью 1/4 из точки A попасть в точку C. Из точки C с вероятностью 1/2 – в точку D. И из точки D с вероятностью 1/2 – к фонтану. Общая вероятность выбора этого маршрута, равна:

.

Получаем значение искомой вероятности:

Ответ: 0,3125.

Задача 3. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,7, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,3. На столе лежит 10 револьверов, из них только 2 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнется.

Решение.

Рассмотрим два несовместных события:

A – ковбой Джон промахивается из пристрелянного револьвера;

B – ковбой Джон промахивается из непристрелянного револьвера.

Решение задачи будет состоять в подсчете суммы вероятностей этих двух событий, так как Джон может промахнуться или в первом случае, или во втором.

Найдем вероятность события A. Оно состоит из двух независимых событий: во-первых, Джон должен схватить пристрелянный револьвер (вероятность 2/10) и, во-вторых, промахнуться (вероятность 1-0,7), в итоге получаем:

Найдем вероятность события B. Оно также состоит из двух независимых событий: во-первых, Джон должен схватить непристрелянный револьвер (вероятность 8/10) и, во-вторых, промахнуться (вероятность 1-0,3), получаем:

Искомая вероятность того, что Джон промахнется, равна

Ответ: 0,62.

Задача 4. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,4. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,22. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение.

Введем два совместных события:

A: кофе остался в первом автомате;

B: кофе остался во втором автомате.

Вероятности этих событий равны и даны в задаче: . Введем третье событие C=A+B, которое будет означать, что кофе закончился хотя бы в одном автомате. Вероятность этого события, равна

А противоположное событие  будет означать, что кофе осталось в обоих автоматах. Получаем значение искомой вероятности:

Ответ: 0,42.

Задача 5. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 60% яиц из первого хозяйства – яйца высшей категории, а из второго – 40% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 48% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Решение.

Обратите внимание, что здесь нам даны доли в 60% и 40% закупаемых яиц только высшей категории и указано, что всего приобретается 48% таких яиц, поступивших в продажу. Поэтому, для ее решения мы пойдем от обратного: обозначим через x вероятность того, что купленное яйцо будет из первого хозяйства. И для простоты восприятия решения, положим, что всего в обоих хозяйствах закупается n яиц. Тогда в первом хозяйстве было закуплено  яиц, из них  высшей категории. Во втором хозяйстве закуплено  яиц, из них  высшей категории. Всего высшую категорию имеют 0,48n яиц. В результате можем записать такое равенство:

Сокращая левую и правую части на n, получаем:

Ответ: 0,4.

Задача 6. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,3, а при каждом последующем – 0,9. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,96?

Решение.

Эту задачу проще всего решить методом перебора: найти вероятности поражения цели при двух, трех, четырех и т.д. выстрелах. В задаче нам дана вероятность 0,3 поражения при первом выстреле и при последующих – 0,9. События, связанные с поражением цели при текущем выстреле, зависимы между собой, так как возникновение одного из них означает прекращение стрельбы. А вот обратные им события – промах при текущем выстреле – независимы. Поэтому мы будем искать вероятность не поражения цели при n выстрелах () по формуле:

,

а затем, вычислять обратную вероятность ее поражения:

В результате, получаем:

- для двух выстрелов:

- для трех выстрелов:

Эта величина больше, чем 0,96, значит, при трех выстрелах цель будет поражена с вероятностью больше 0,96.

Ответ: 3.

Задача 7. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причем погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,9 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 11 марта, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 14 марта в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение.

Для наглядности решение выполним в виде таблицы, в которую будем записывать вероятности хорошей и отличной погоды во все дни с 11 по 14 марта. Изначально мы знаем, что 11-го числа погода стояла хорошая, значит, ее вероятность равна 1, а вероятность отличной погоды, равна 0.

 

11 марта

12 марта

13 марта

14 марта

хорошая

1

 

 

 

отличная

0

 

 

 

Далее, 12 марта хорошая погода повторится с вероятностью 0,9, а отличная установится с вероятностью 1-0,9 = 0,1. Получаем следующую запись в таблице:

 

11 марта

12 марта

13 марта

14 марта

хорошая

1

0,9

 

 

отличная

0

0,1

 

 

А вот 13 марта хорошая погода может возникнуть уже при двух несовместных исходах: A – «погода была хорошей и не изменилась» и B – «погода была отличной и изменилась». Вероятность события A равна произведению вероятностей двух независимых событий: погода была хорошей (вероятность по таблице 0,9) и она не изменилась (вероятность по условию задачи 0,9):

.

Вероятность события B вычисляется аналогично: погода была отличной (вероятность по таблице 0,1) и она изменилась (вероятность по условию задачи 0,1): . В результате, хорошая погода 13-го числа установится с вероятностью

а отличная – с противоположной вероятностью:

 

11 марта

12 марта

13 марта

14 марта

хорошая

1

0,9

0,82

0,756

отличная

0

0,1

0,18

0,244

Рассуждая аналогичным образом, для 14-го числа, имеем:

Ответ: 0,244.

Видео по теме