Скачать книгу
В ОГЭ и ЕГЭ часто встречаются задачи на подбрасывание монетки и игрального кубика. Для начала рассмотрим одну такую типовую задачу.
Задача 1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно 2 раза.
Решение.
Такие задачи, обычно, решаются следующим образом.
Задается событие A – «выпадение
решки ровно два раза из трех». Вычисляется число возможных исходов при
трехкратном подбрасывании монетки: 
. Их также можно изобразить графически
(здесь «О» – это орел, а «Р» – это решка):
Среди этих вариантов число благоприятных исходов для
события A, равно 
(они выделены оранжевым
цветом). Соответственно, получаем значение вероятности события A:
Ответ: 0,375.
Однако, эту же задачу можно решить еще и так. Обозначим событие A как «выпадение решки при однократном подбрасывании». Вероятность этого события нам известна, она равна
.
(Мы здесь вероятность 
обозначили через букву 
).
А противоположная вероятность
будет соответствовать всем остальным возможным исходам. В нашем случае – выпадению орла при однократном подбрасывании монетки. Используя эти обозначения, можно заметить, что вероятности событий, когда решка выпадает ровно два раза из трех, равны:
Эта вероятность для каждого случая одна и та же. И, учитывая, что эти три события несовместны, искомую вероятность можно записать в виде:
Как видите, получаем тот же результат. Кроме того, множитель 3, стоящий перед выражением, есть не что иное, как биноминальный коэффициент, то есть, число сочетаний из 3 по 2, которое записывается так:
Благодаря введению биноминального коэффициента,
вместо чисел 2 и 3 можно записывать любые другие натуральные числа k
и n (при
условии 
). И
обобщить данную задачу на случай из n
подбрасываний монетки с вычислением вероятности появлений решки (либо орла)
ровно k раз (неважно в каком
порядке):
Эта формула называется формулой Бернулли. Она позволяет на автомате решать задачи, подобные рассмотренной, без необходимости расписывания всех вариантов исходов. Возможно, она кажется несколько сложной и громоздкой? Однако, когда имеем дело с большим числом подбрасываний (от трех и более), то ее использование заметно упрощает процесс решения. И для примера рассмотрим такую задачу.
Задача 2. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно 2 раза.
Решение.
Определяем событие A
– «выпадение орла при однократном подбрасывании монетки». Его вероятность . Общее число
подбрасываний равно 
из
них 
должен
выпасть орел (в любом порядке). Подставляем эти значения в формулу Бернулли,
получаем значение искомой вероятности:
Ответ: 0,375.
Обратите внимание, что мы получили тот же результат, что и при трехкратном подбрасывании. То есть, вероятность выпадения двух орлов при трехкратном и четырехкратном подбрасывании монетки одинакова. И в этом нет ошибки – это действительно так.
И еще обратите внимание на то, что формула Бернулли вычисляет вероятность появления в n экспериментах некоторого события A ровно k раз в произвольном порядке. Если же порядок имеет значение, например, нужно найти вероятность того, что первые два раза выпадет орел, а остальные два раза решка, то формула Бернулли здесь уже неприменима.
Для закрепления материала рассмотрим такую задачу.
Задача 3. Вероятность того, что в течение дня пойдет дождь, равна 0,2. Найдите вероятность того, что в течение недели три дня будут дождливыми.
Решение.
Зададим событие A
– «в течение дня пойдет дождь». Вероятность этого события равна 
. Нас интересует
вероятность того, что из 
дней 
дня будут дождливыми. Запишем формулу
Бернулли для этих значений, получим:
Ответ: 0,114688.
А следующую задачу решите самостоятельно.
Задача 4. Вероятность того, что в течение года турист С. поедет в Японию, равна 0,4. Найдите вероятность того, что турист С. посетит Японию дважды на протяжении 6 лет.
