ЕГЭ и ОГЭ
Главная > Авторские издания > Теория вероятностей для школьников (с абсолютного нуля)

Скачать книгу

Что представляет собой вероятность произведения двух событий и как она вычисляется

Представьте, что вы решили познакомиться с новым человеком и для этого сформулировали для себя два критерия: он должен быть красивым и богатым. Далее, используя поиск ВКонтакте, выбрали случайным образом 100 профилей реальных людей (рис. 4, а). Начинаете просматривать эти профили и первым делом смотрите: красив он для вас или нет. Предположим, что в среднем один человек из 10 вам кажется привлекательным. Значит, по первому критерию красоты, у вас, в среднем, останется только 10 анкет из 100 (рис. 4, б). Далее, из них вы оставляете только богатых. Допустим, таких, в среднем, один из пяти, поэтому на последнем этапе остается всего две анкеты (рис. 4, в). А теперь посчитаем вероятность того, что случайно выбранный профиль будет отобран вами для знакомства. Учитывая, что у вас осталось всего две анкеты из 100, имеем число благоприятных исходов  с их общим числом . Соответственно, искомая вероятность, равна:

Рис. 4. Пример процесса отбора анкет для знакомств

Совсем немного! Кажется, у большинства почти нет шансов с вами познакомиться? Но мы посмотрим на это число с других позиций. Что оно, по сути, из себя представляет? Это произведение двух дробей:

Причем, первая дробь (1/10) – это доля красивых, а вторая (1/5) – это доля богатых. В данном случае доля и вероятность – это одно и то же, так как мы все рассматриваем «в среднем». И, вводя два события: A – анкета привлекательного человека; B – анкета богатого человека, можно записать вероятности их появления:

 и .

В этих обозначениях вероятность события C – выбора и красивого и богатого человека, запишется в виде:

или, это же выражение можно записать и так:

Из последних двух выражений следует, что событие  соответствует одновременному возникновению и события A и события B при проведении эксперимента (в нашем примере – это выбор и красивого (A) и богатого (B) человека). Обратите внимание, что в теории вероятностей союз «и» в таких фразах как «и событие A и событие B» означает умножение событий.

Приведенный пример наглядно показывает, почему для вычисления вероятности одновременного возникновения двух событий нужно применять формулу произведения вероятностей этих событий.

Однако, в нашем случае события A и B были независимы между собой. Действительно, богатство еще не означает красоту и, наоборот, красота никак не связана с богатством. Например, мы можем сначала выбрать всех богатых – это, в среднем, 20 человек из 100. Затем, из них выбрать красивых. Получим снова две анкеты. Как видите, здесь не важно в каком порядке делать отбор, так как события независимы между собой. Но что будет, если мы рассмотрим два зависимых события? Как в этом случае изменится формула вычисления вероятности их произведения?

Для этого рассмотрим урну с тремя белыми и двумя черными шарами. Из этой урны мы будем наугад вынимать сразу два шара. Нас интересует вероятность одновременного выбора и белого и черного шара. Для этого определим эти два события: A – выбор белого шара; B – выбор черного шара. Начальные вероятности каждого из них нам известны:

 и

Одновременный выбор двух шаров – это возникновение и события A и события B, то есть, нам нужно вычислить вероятность их произведения:

или в виде

Между этими двумя записями есть отличия, несмотря на то, что они приводят к одному и тому же числовому значению. Первое выражение  говорит о том, что сначала мы взяли белый шар (произошло событие A), а затем, из оставшихся выбрали черный шар (событие B). Поэтому первую формулу следует записывать так:

и ее значение равно

Второе выражение  означает, что сначала был выбран черный шар (событие B произошло), а затем, из оставшихся взят белый шар (событие A). Здесь имеем:

что дает числовое значение

Как видите, от перестановки событий значение вероятности их произведения не меняется и в общем случае можно записать равенство:

Теперь рассмотрим несколько задач из ЕГЭ, где используются формулы вероятности произведения событий.

Задача 1. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,2. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).

Решение.

Введем три независимых события:

A: первый продавец занят с клиентом;

B: второй продавец занят с клиентом;

C: третий продавец занят с клиентом.

Вероятности этих событий даны по условию задачи и равны:

.

Нас интересует одновременное возникновение этих трех событий. Это есть не что иное, как вычисление вероятности их произведения. Имеем (с учетом их независимости):

Ответ: 0,008.

Задача 2. Помещение освещается фонарем с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение.

Введем три независимых события:

A: первая лампа перегорит в течение года;

B: вторая лампа перегорит в течение года;

C: третья лампа перегорит в течение года,

для которых дана вероятность их возникновения:

Если мы теперь умножим эти вероятности

,

то получим вероятность события , означающего, что перегорела и первая и вторая и третья лампы. А вот противоположное событие  будет охватывать все другие исходы, которые не вошли в событие D. Что это за исходы? Это как раз и есть перегорание хотя бы одной лампы в течение года. Значит, нам нужно вычислить

и

Ответ: 0,973.

Задача 3. Бабушка испекла Маше 10 пирожков: 5 из них с яблоками, 2 с вишней и 3 с капустой. Найдите вероятность того, что Маша наугад сначала съела пирожок с капустой, затем, с яблоками и третий – с вишней.

Решение.

Введем три зависимых события:

A: Маша выбрала пирожок с капустой;

B: Маша выбрала пирожок с яблоками;

C: Маша выбрала пирожок с вишней.

Нам требуется вычислить вероятность события . Так как события зависимы, то эта вероятность запишется в виде:

Вероятность события A, равна , так как с капустой пирожков , а всего их . После того, как Маша съела этот пирожок (событие A произошло), на тарелке осталось  пирожков: 5 с яблоками, 2 с вишней и 2 с капустой. Следовательно, вероятность события B при этих условиях, равна: . Теперь на тарелке только  пирожков: 4 с яблоками, 2 с вишней и 2 с капустой. Вероятность того, что Маша выберет пирожок с капустой, равна: . Умножаем эти вероятности, получаем:

Ответ: 1/24.

Задача 4. В классе 16 мальчиков и 9 девочек. Для подготовки классной комнаты к занятиям случайным образом выбирают двух дежурных. Найдите вероятность того, что дежурить будут два мальчика.

Решение.

Часто, чтобы не ошибиться при решении задач по теории вероятностей надо стараться представлять развитие событий, описанных в задании, у себя в голове. В данном случае этот процесс будет следующим:

1. Случайным образом выбирается первый дежурный из всех  детей.

2. Случайным образом выбирается второй дежурный уже из  детей.

Нам необходимо, чтобы и в первом и во втором случаях был выбран мальчик. Давайте запишем два таких события:

A: первый выбранный дежурный мальчик;

B: второй выбранный дежурный мальчик.

Как мы видим, здесь события A и B зависимы между собой, так как выбранный ребенок не возвращается для повторного выбора, и возникновение события A влияет на вероятность события B. Вычислим вероятности этих событий. Число благоприятных исходов для события A равно  мальчиков, имеем:

После того, как событие A произошло, у нас осталось  ребенка и среди них  мальчиков, следовательно,

Искомая вероятность того, что будут выбраны два мальчика (то есть, произойдет и событие A и событие B), равна:

Ответ: 0,4.

Видео по теме