ЕГЭ и ОГЭ
Главная > Авторские издания > Теория вероятностей для школьников (с абсолютного нуля)

Скачать книгу

Зависимые и независимые события. Условная вероятность

Представьте, что у нас имеется урна, в которой лежат три белых и два черных шара. Мы наугад выбираем шар, определяем его цвет и кладем обратно в урну. Посмотрим, чему будет равна вероятность выбора белого шара и вероятность выбора черного шара?

Для начала определим два события:

A: из урны вынут белый шар;

B: из урны вынут черный шар.

Используя формулу , мы легко можем вычислить эти вероятности. Для события A она будет равна:

,

так как в урне всего  шаров (размер полной группы элементарных равновероятных событий), а благоприятных для события A только  шара. Соответственно, для события B, имеем:

.

Теперь изменим условия эксперимента и вынутые шары не будем класть обратно в урну. Посмотрим, как это отразится на вероятностях событий A и B.

Предположим, сначала был вынут белый шар, то есть, произошло событие A. В результате в урне осталось два белых и два черных шара. Чему стала равна вероятность события B? Да, теперь вместо 2/5 мы имеем значение

То есть, мы получили новое значение вероятности события B при условии, что событие A уже произошло. Такую вероятность называют условной вероятностью и она записывается так:

По аналогии можно записать вероятность события A при условии, что событие B произошло (при исходных пяти шарах):

Здесь можно заметить, что в первом случае, когда мы клали вынутые шары обратно в урну, условные вероятности равны вероятностям соответствующих событий:

Но, когда шары не возвращались в урну, то эти равенства уже не соблюдались. Все дело в том, что в первом случае (возврата шаров) события A и B были независимы друг от друга. То есть, возникновение одного из них никак не влияло на вероятность появления другого. А во втором случае события A и B становились зависимыми, когда появление одного из них влияло на вероятность появления другого. Фактически, это и есть понятия зависимых и независимых событий. Формально они звучат так:

События A и B называются независимыми, если возникновение одного из них в ходе эксперимента не влияет на вероятность появления другого.

События A и B называются зависимыми, если появление одного из них в ходе эксперимента, влечет изменение вероятности другого.

Далее мы увидим, как зависимость и независимость событий влияет на вычисление вероятности их произведения.

Видео по теме