Скачать книгу
Представьте, что у нас имеется урна, в которой лежат три белых и два черных шара. Мы наугад выбираем шар, определяем его цвет и кладем обратно в урну. Посмотрим, чему будет равна вероятность выбора белого шара и вероятность выбора черного шара?
Для начала определим два события:
A: из урны вынут белый шар;
B: из урны вынут черный шар.
Используя формулу 
, мы легко можем вычислить эти вероятности.
Для события A
она
будет равна:
,
так как в урне всего 
шаров (размер полной группы элементарных равновероятных
событий), а благоприятных для события A
только 
шара. Соответственно,
для события B, имеем:
.
Теперь изменим условия эксперимента и вынутые шары не будем класть обратно в урну. Посмотрим, как это отразится на вероятностях событий A и B.
Предположим, сначала был вынут белый шар, то есть, произошло событие A. В результате в урне осталось два белых и два черных шара. Чему стала равна вероятность события B? Да, теперь вместо 2/5 мы имеем значение
То есть, мы получили новое значение вероятности события B при условии, что событие A уже произошло. Такую вероятность называют условной вероятностью и она записывается так:
По аналогии можно записать вероятность события A при условии, что событие B произошло (при исходных пяти шарах):
Здесь можно заметить, что в первом случае, когда мы клали вынутые шары обратно в урну, условные вероятности равны вероятностям соответствующих событий:
Но, когда шары не возвращались в урну, то эти равенства уже не соблюдались. Все дело в том, что в первом случае (возврата шаров) события A и B были независимы друг от друга. То есть, возникновение одного из них никак не влияло на вероятность появления другого. А во втором случае события A и B становились зависимыми, когда появление одного из них влияло на вероятность появления другого. Фактически, это и есть понятия зависимых и независимых событий. Формально они звучат так:
События A и B называются независимыми, если возникновение одного из них в ходе эксперимента не влияет на вероятность появления другого.
События A и B называются зависимыми, если появление одного из них в ходе эксперимента, влечет изменение вероятности другого.
Далее мы увидим, как зависимость и независимость событий влияет на вычисление вероятности их произведения.