ЕГЭ и ОГЭ
Главная > Авторские издания > Теория вероятностей для школьников (с абсолютного нуля)

Скачать книгу

Что такое противоположные события и зачем они нужны

Вернемся к нашей игре в дартс «в слепую», когда дротики равномерно покрывают прямоугольную область стены W, на которой висит мишень A (рис. 3). И введем событие

A: дротик попадает в мишень.

Противоположным к нему будет событие:

B: дротик не попадает в мишень.

Противоположное событие в теории вероятностей обозначают той же латинской буквой, но с чертой наверху. То есть, противоположное событие для A записывается как  и соответствует событию B. Далее вместо B мы будет использовать .

Рис. 3. Красные точки – следы от дротиков; синий круг (A) – мишень; прямоугольник (W) – фрагмент стены.

Из рисунка 3 видно, что площадь события  составляет оставшуюся часть стены, не занятой мишенью A, то есть, противоположное событие образует как бы инверсию к основному событию. Соответственно, площадь этого противоположного события, равна:

А его вероятность определяется следующим образом:

И, так как , то вероятность события , равна:

Мы получили вполне очевидный результат, так как противоположное событие  охватывает все остальные исходы, которые не включает в себя событие A. Поэтому, вместе события  и A охватывают все возможные исходы эксперимента и, кроме того, всегда несовместны. Последнюю формулу можно еще записать и так:

Зачем вообще нужны эти противоположные события? Дело в том, что в ряде случаев они заметно упрощают решение задач. Например, представьте, что нужно вычислить вероятность выпадения чисел 1 или 2 или 3 или 4 или 6 при однократном бросании игрального кубика. Здесь исключено одно число 5. Тогда мы можем его представить в виде противоположного события:

: выпала грань кубика с числом 5.

Вероятность этого события нам уже известна: . Отсюда автоматически получаем значение искомой вероятности того, что выпадет какая-либо другая грань с числами 1 или 2 или 3 или 4 или 6:

Если этот пример вас не убедил в эффективности применения противоположных событий, то вот другой, немного более сложный. Бросаются два игральных кубика и нужно найти вероятность того, что сумма очков не будет равна 11. Для решения введем противоположное событие:

: сумма очков равна 11

и подсчитаем число благоприятных исходов для этого события. Это два варианта ():

5+6; 6+5

Общее число исходов (размер полной группы равновероятных событий) равно . Получаем вероятность противоположного события:

И, затем, находим искомую вероятность события A:

Конечно, эту же задачу можно решить непосредственно через событие A, подсчитав для него число благоприятных исходов. Их было бы . Однако, это был бы более трудоемкий путь.

В дальнейшем вы увидите еще много различных задач, когда введение противоположного события упрощает их решение.

Видео по теме