Скачать книгу
Вернемся к нашей игре в дартс «в слепую», когда дротики равномерно покрывают прямоугольную область стены W, на которой висит мишень A (рис. 3). И введем событие
A: дротик попадает в мишень.
Противоположным к нему будет событие:
B: дротик не попадает в мишень.
Противоположное событие в теории вероятностей
обозначают той же латинской буквой, но с чертой наверху. То есть,
противоположное событие для A
записывается как 
и
соответствует событию B.
Далее вместо B мы будет использовать .
Рис. 3. Красные точки – следы от дротиков; синий круг (A) – мишень; прямоугольник (W) – фрагмент стены.
Из рисунка 3 видно, что площадь события составляет оставшуюся
часть стены, не занятой мишенью A,
то есть, противоположное событие образует как бы инверсию к основному событию.
Соответственно, площадь этого противоположного события, равна:
А его вероятность определяется следующим образом:
И, так как 
, то вероятность события , равна:
Мы получили вполне очевидный результат, так как
противоположное событие охватывает все остальные исходы, которые не
включает в себя событие A.
Поэтому, вместе события и A
охватывают
все возможные исходы эксперимента и, кроме того, всегда несовместны. Последнюю
формулу можно еще записать и так:
Зачем вообще нужны эти противоположные события? Дело в том, что в ряде случаев они заметно упрощают решение задач. Например, представьте, что нужно вычислить вероятность выпадения чисел 1 или 2 или 3 или 4 или 6 при однократном бросании игрального кубика. Здесь исключено одно число 5. Тогда мы можем его представить в виде противоположного события:
:
выпала грань кубика с числом 5.
Вероятность этого события нам уже известна: 
. Отсюда автоматически
получаем значение искомой вероятности того, что выпадет какая-либо другая грань
с числами 1 или 2 или 3 или 4 или 6:
Если этот пример вас не убедил в эффективности применения противоположных событий, то вот другой, немного более сложный. Бросаются два игральных кубика и нужно найти вероятность того, что сумма очков не будет равна 11. Для решения введем противоположное событие:
:
сумма очков равна 11
и подсчитаем число благоприятных исходов для этого
события. Это два варианта (
):
5+6; 6+5
Общее число исходов (размер полной группы равновероятных
событий) равно 
.
Получаем вероятность противоположного события:
И, затем, находим искомую вероятность события A:
Конечно, эту же задачу можно решить непосредственно
через событие A, подсчитав для него
число благоприятных исходов. Их было бы 
. Однако, это был бы более трудоемкий путь.
В дальнейшем вы увидите еще много различных задач, когда введение противоположного события упрощает их решение.