ЕГЭ и ОГЭ
Главная > Авторские издания > Теория вероятностей для школьников (с абсолютного нуля)

Скачать книгу

Что же такое вероятность?

Представьте, что вы играете в дартс и дротиками нужно попасть в центр мишени. Но делаете это с закрытыми глазами. При такой «слепой» игре, скорее всего, ваши дротики будут равномерно покрывать область стены вблизи мишени. Условно это можно представить так (рис. 1).

Рис. 1. Красные точки – следы от дротиков; синий круг (A) – мишень; прямоугольник (W) – фрагмент стены.

Для простоты положим, что все дротики попадают именно в этот фрагмент стены и равномерно ее покрывают. Тогда как определить, какая доля дротиков, в среднем, попадет в мишень A? Это легко вычислить, зная площади фигур A и W. Пусть площадь фигуры A равна , а площадь стены W равна . Тогда средняя доля попаданий дротиков в мишень A составит величину

.

Например, если площадь стены  кв. ед., а площадь мишени равна половине площади стены –  кв. ед., то в среднем, доля попаданий составит:

.

То есть, примерно, в половине случаев дротики будут попадать в цель.

Читая этот текст, вы, наверное, обратили внимание на фразу «в среднем», которая постоянно здесь употребляется. Но что она означает? Дело в том, что бросание дротиков – это случайный процесс и вполне могут возникать ситуации, когда ни один из дротиков не попадет в мишень (рис. 2, а), или наоборот, все дротики попадут в мишень (рис. 2, б). Но даже при более-менее равномерном их распределении, доля попавших в мишень и не попавших, вряд ли составит величину 0,5 (рис. 2, в). А вот если мы будем бесконечно долго бросать дротики, то сможем вплотную приблизиться к величине 0,5 (рис. 2, г).

 

а)                                                           б)

 

в)                                                            г)

Рис. 2. Возможные исходы при бросании дротиков «в слепую».

Из этих рисунков наглядно видно, что если объединить исходы рис. 2, а, б, в и другие подобные им случаи с небольшим числом бросков, то рано или поздно получим картину, представленную на рис. 2, г. Это и есть визуальное представление понятия «в среднем». Например, если взять четыре исхода с небольшим числом бросков и долями попаданий в мишень

,

то, усредняя их, получим значение:

Это эквивалентно объединению этих четырех исходов (при условии, что дротики не попадали в одну и ту же точку дважды) и вычисления доли уже объединенной картины. Поэтому, когда говорят «в среднем», подразумевают предельный случай бесконечного числа экспериментов.

Вернемся теперь к нашему числу 0,5 – доли попадания дротиков в мишень, которая занимает половину стены. Если мы в экспериментах сократим число дротиков до одного, то в среднем, все равно доля их попаданий в мишень будет равна 0,5. Получается, что это число является некой объективной характеристикой нашего случайного процесса, а именно – случайного попадания дротиков в мишень размером в половину стены. По сути, оно означает, что в 50% случаях дротик попадает в цель, а в 50% не попадает. В теории вероятностей такое число называют вероятностью возникновения того или иного события (кстати, не обязательно случайного). А сами события обычно обозначают заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C, D и т.д. Например, в нашем случае можно ввести два таких события:

A: попадание дротиком в мишень;

B: не попадание дротиком в мишень.

Сами же вероятности событий часто обозначают так:

 

То есть, пишут букву P и в круглых скобках указывают событие, для которого определена вероятность. В данном случае вероятности случайных событий A и B (при условии, что мишень в половину стены), равны:

Здесь  – площадь оставшейся части стены (не занятой мишенью). Очевидно, что она равна  кв. ед.

Теперь посмотрим, в каких пределах может меняться вероятность. Предположим, что мы уменьшили площадь нашей мишени до нуля. Это эквивалентно тому, что мы ее попросту убрали со стены. Тогда вероятность события A – попадания дротиком в мишень, станет равной:

То есть, если вероятность какого-либо события равна 0, то это значит, что событие не может произойти в ходе поставленного эксперимента. Другой крайний случай – когда мишень занимает всю стену, то есть, когда площади мишени и стены равны: . В этом случае вероятность того же события A составит величину

Вероятность равная 1 говорит о том, что событие A всегда происходит в ходе эксперимента. Действительно, при мишени во всю стену промах попросту исключен и событие A происходит всегда. В результате мы получаем, что вероятность какого-либо события принадлежит диапазону значений от 0 до 1:

Вот мы с вами и познакомились с понятием вероятности. И подытоживая все сказанное, можно заключить, что вероятность – это доля появлений события в ходе некоторого эксперимента. Причем, рассматривая нашу игру в дартс, эту долю (вероятность) теоретически можно вычислить не только через площади, но и непосредственно через эксперименты. Например, если мы хотим вычислить вероятность попадания дротика в мишень (событие A), то должны сделать бесконечное число  экспериментов (бросков) и подсчитать сколько раз  цель была поражена. Тогда отношение

 

даст искомую вероятность. Разумеется, бесконечное число бросков сделать невозможно, однако, когда нет другого способа, используют эту формулу для приближенного вычисления вероятности. Причем, чем больше экспериментов  будет сделано, тем в среднем ближе будет оценка вероятности. При ограниченном числе  полученное значение называют частотой появления события.

Но мы не будем углубляться в расчеты экспериментальных вероятностей. В школьном курсе рассматриваются такие случайные события, для которых можно либо точно определить вероятность их возникновения, либо вероятности даны в условии задачи.

Видео по теме