ЕГЭ и ОГЭ
Главная > Авторские издания > Теория вероятностей для школьников (с абсолютного нуля)

Скачать книгу

Базовая формула для вычисления вероятности

Что же это за события, для которых можно точно определить вероятности? Покажем это сначала на примере нашей игры в «слепой» дартс. Также будем полагать, что мишень занимает половину стены. И выделим два события:

A: дротик попадает в мишень;

B: дротик не попадает в мишень.

В чем особенность этих двух событий? Дело в том, что они оба образуют все возможные исходы при бросании дротиков. Или, как говорят в теории вероятностей, они образуют полную группу событий. И эта полная группа, в данном случае, состоит из двух событий: A и B. Обозначим размер этой группы через . Вторая важная особенность этих событий – это то, что они не могут произойти одновременно в одном эксперименте. Действительно, дротик либо попадает в цель, либо не попадает. Про такие события говорят, что они несовместные. Так вот, если мы имеем полную группу несовместных событий, то для них всегда выполняется равенство:

.

По сути, эта формула говорит, что при бросании дротика мы или попадем в цель или не попадем. И, разумеется, вероятность этого равна 1.

Наконец, последнее. Так как мишень занимает половину стены, а дротики равномерно распределяются по ней, то в половине случаев они будут попадать в цель, а в половине – не попадать. То есть, вероятности событий A и B равны  и составляют величину 1/2. Это же значение можно вычислить еще и так. Учитывая, что  и , имеем равенство:

и, соответственно,

А теперь давайте применим этот же подход к вычислению вероятностей выпадения орла или решки симметрической монетки. Также обозначим два события:

A: выпадение орла;

B: выпадение решки.

Эти события образуют полную группу событий, то есть, при подбрасывании монетки никакое другое событие, кроме этих двух, произойти не может. Размер этой группы также равен . Очевидно, что они несовместны (не могут оба произойти одновременно при однократном подбрасывании) и равновероятны (так как стороны монетки совершенно одинаковы). Отсюда автоматически получаем, что

Чуть усложним задачу и рассмотрим игральный кубик с одинаковыми шестью гранями. Каждая грань кубика пронумерована от 1 до 6. И для них введем шесть событий: . Эти несовместные события образуют полную группу событий размером  и равновероятны (так как грани кубика абсолютно одинаковы, а сам кубик имеет одинаковую плотность и материал в каждой его точке). Тогда неизбежно получаем следующие вероятности появления той или иной грани кубика:

потому что

Теперь внимательно посмотрите на полученные формулы. В знаменателе каждой из них стоит число  – размер группы, а в числителе записана 1. Обозначим ее через  – это число элементарных несовместных событий благоприятных тому или иному исходу. Например, если при бросании игрального кубика ввести такое событие:

A: выпадение числа 1 или числа 3,

то для него будут благоприятны уже два элементарных события:  и . И в этом случае . Соответственно, вероятность этого события будет равна:

Вот мы с вами познакомились с первой формулой для вычисления вероятностей некоторых событий:

Здесь  – это размер полной группы несовместных равновероятных событий;  – число элементарных событий (из полной группы), благоприятных некоторому исходу (для которого и вычисляется вероятность).

Чтобы лучше понять как применять данную формулу, рассмотрим несколько типовых задач из ЕГЭ по теории вероятностей.

Задача 1. В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 7 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Решение.

Обратите внимание на формулировку «в среднем». Она указывает на то, что числа 1000 и 7 непосредственно описывают вероятности подтекания и не подтекания насосов.

Далее, мы можем рассмотреть группу из  насосов. Здесь каждый насос можно воспринимать как отдельное элементарное несовместное событие (так как для контроля выбирается только один). А все вместе они образуют полную группу событий. Запишем событие, вероятность которого требуется найти:

A: случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Число благоприятных исходов для него будет равно , так как именно столько насосов из 1000, в среднем, не подтекают. Подставляем эти значения в формулу вычисления вероятности, получаем:

Ответ: 0,993.

Задача 2. В фирме такси в данный момент свободно 35 машин: 11 красных, 17 фиолетовых и 7 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет зеленое такси.

Решение.

Здесь понятия «в среднем» не требуется, так как имеется ограниченная выборка из 35 такси. Мы из этих машин составляем полную группу несовместных и равновероятных событий размером . Далее, вводим искомое событие

A: приедет зеленое такси.

И, так как зеленых машин 7, то благоприятных исходов для события A равно . Подставляем эти величины в формулу вычисления вероятности, получаем:

Ответ: 0,2.

Задача 3. На тарелке 16 пирожков: 8 с мясом, 3 с яблоками и 5 с луком. Настя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с мясом.

Решение.

Решение этой задачи аналогично предыдущей, только вместо такси пирожки с различными начинками. Попробуйте решить ее самостоятельно.

Видео по теме