Скачать книгу
Что же это за события, для которых можно точно определить вероятности? Покажем это сначала на примере нашей игры в «слепой» дартс. Также будем полагать, что мишень занимает половину стены. И выделим два события:
A: дротик попадает в мишень;
B: дротик не попадает в мишень.
В чем особенность этих двух событий? Дело в том, что
они оба образуют все возможные исходы при бросании дротиков. Или, как говорят в
теории вероятностей, они образуют полную группу событий. И эта полная группа,
в данном случае, состоит из двух событий: A
и B. Обозначим размер этой группы через
. Вторая важная
особенность этих событий – это то, что они не могут произойти одновременно в
одном эксперименте. Действительно, дротик либо попадает в цель, либо не
попадает. Про такие события говорят, что они несовместные. Так вот, если
мы имеем полную группу несовместных событий, то для них всегда выполняется
равенство:
.
По сути, эта формула говорит, что при бросании дротика мы или попадем в цель или не попадем. И, разумеется, вероятность этого равна 1.
Наконец, последнее. Так как мишень занимает половину
стены, а дротики равномерно распределяются по ней, то в половине случаев они
будут попадать в цель, а в половине – не попадать. То есть, вероятности событий
A и B
равны 
и
составляют величину 1/2. Это же значение можно вычислить еще и так. Учитывая,
что и , имеем равенство:
и, соответственно,
А теперь давайте применим этот же подход к вычислению вероятностей выпадения орла или решки симметрической монетки. Также обозначим два события:
A: выпадение орла;
B: выпадение решки.
Эти события образуют полную группу событий, то есть,
при подбрасывании монетки никакое другое событие, кроме этих двух, произойти не
может. Размер этой группы также равен . Очевидно, что они несовместны (не могут оба
произойти одновременно при однократном подбрасывании) и равновероятны (так как стороны
монетки совершенно одинаковы). Отсюда автоматически получаем, что
Чуть усложним задачу и рассмотрим игральный кубик с
одинаковыми шестью гранями. Каждая грань кубика пронумерована от 1 до 6. И для
них введем шесть событий: 
. Эти несовместные события образуют полную
группу событий размером 
и равновероятны (так как грани кубика
абсолютно одинаковы, а сам кубик имеет одинаковую плотность и материал в каждой
его точке). Тогда неизбежно получаем следующие вероятности появления той или
иной грани кубика:
потому что
Теперь внимательно посмотрите на полученные формулы.
В знаменателе каждой из них стоит число 
– размер группы, а в числителе записана 1.
Обозначим ее через 
–
это число элементарных несовместных событий благоприятных тому или иному
исходу. Например, если при бросании игрального кубика ввести такое событие:
A: выпадение числа 1 или числа 3,
то для него будут благоприятны уже два элементарных события:
и 
. И в этом случае 
. Соответственно,
вероятность этого события будет равна:
Вот мы с вами познакомились с первой формулой для вычисления вероятностей некоторых событий:
Здесь – это размер полной группы несовместных равновероятных
событий; 
– число
элементарных событий (из полной группы), благоприятных некоторому исходу (для
которого и вычисляется вероятность).
Чтобы лучше понять как применять данную формулу, рассмотрим несколько типовых задач из ЕГЭ по теории вероятностей.
Задача 1. В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 7 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
Решение.
Обратите внимание на формулировку «в среднем». Она указывает на то, что числа 1000 и 7 непосредственно описывают вероятности подтекания и не подтекания насосов.
Далее, мы можем рассмотреть группу из 
насосов. Здесь каждый
насос можно воспринимать как отдельное элементарное несовместное событие (так
как для контроля выбирается только один). А все вместе они образуют полную
группу событий. Запишем событие, вероятность которого требуется найти:
A: случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
Число благоприятных исходов для него будет равно 
, так как именно столько
насосов из 1000, в среднем, не подтекают. Подставляем эти значения в формулу
вычисления вероятности, получаем:
Ответ: 0,993.
Задача 2. В фирме такси в данный момент свободно 35 машин: 11 красных, 17 фиолетовых и 7 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет зеленое такси.
Решение.
Здесь понятия «в среднем» не требуется, так как
имеется ограниченная выборка из 35 такси. Мы из этих машин составляем полную
группу несовместных и равновероятных событий размером 
. Далее, вводим искомое событие
A: приедет зеленое такси.
И, так как зеленых машин 7, то благоприятных исходов
для события A
равно
. Подставляем
эти величины в формулу вычисления вероятности, получаем:
Ответ: 0,2.
Задача 3. На тарелке 16 пирожков: 8 с мясом, 3 с яблоками и 5 с луком. Настя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с мясом.
Решение.
Решение этой задачи аналогично предыдущей, только вместо такси пирожки с различными начинками. Попробуйте решить ее самостоятельно.
