Задание 14. Радиус основания конуса равен 4, а высота конуса равна 3√2. В конусе проведено сечение плоскостью, проходящей через вершину конуса и хорду
окружности основания, длина которой равна 4√2.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через середину этой хорды и высоту конуса, перпендикулярна этой хорде.
б) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью сечения.
Решение.
а) Рассмотрим
равнобедренный треугольник AOB, у которого стороны AO=OB=r, где r – радиус
окружности. По условию точка P – середина отрезка AB, следовательно,
. Рассмотрим
равнобедренный треугольник AMB, со сторонами AM=MB, равные длине
образующей конуса. Из условия того, что P – середина
отрезка AB следует 
. Таким образом, имеем,
что
и,
следовательно, 
.
б) Угол между
плоскостью основания и плоскостью сечения соответствует углу 
. Рассмотрим
прямоугольный треугольник MOP (так как MO – высота конуса).
Тогда тангенс угла равен
.
Высота
дана по условию
задачи. Найдем длину отрезка PO. Рассмотрим прямоугольный треугольник APO, в котором AO=4, а 
. Тогда по теореме
Пифагора, длина PO будет равна
и
,
соответственно,
.
Ответ: 
.
Другие задания: