Задание 14. Радиус основания конуса равен 4, а высота конуса равна 3√2. В конусе проведено сечение плоскостью, проходящей через вершину конуса и хорду
окружности основания, длина которой равна 4√2.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через середину этой хорды и высоту конуса, перпендикулярна этой хорде.
б) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью сечения.
Решение.
а) Рассмотрим равнобедренный треугольник AOB, у которого стороны AO=OB=r, где r – радиус окружности. По условию точка P – середина отрезка AB, следовательно, . Рассмотрим равнобедренный треугольник AMB, со сторонами AM=MB, равные длине образующей конуса. Из условия того, что P – середина отрезка AB следует . Таким образом, имеем, что
и, следовательно, .
б) Угол между плоскостью основания и плоскостью сечения соответствует углу . Рассмотрим прямоугольный треугольник MOP (так как MO – высота конуса). Тогда тангенс угла равен
.
Высота дана по условию задачи. Найдем длину отрезка PO. Рассмотрим прямоугольный треугольник APO, в котором AO=4, а . Тогда по теореме Пифагора, длина PO будет равна
и
,
соответственно,
.
Ответ: .
Другие задания: