Задание 18. Найдите все значения a, для каждого из которых уравнение
имеет более трёх различных решений.
Решение.
Решение представлено Григорием Пожидаевым
Заметим,
что слагаемое 
,
следовательно, начальное выражение можно переписать в виде:
Пусть
, тогда
имеем:
.
Введем
функцию 
,
тогда последнее выражение можно записать как
.
Можно
заметить, что производная функции 
, значит, функция f(z) монотонно возрастает при любых z.
Отсюда следует, что равенство
можно заменить эквивалентным равенством
.
Теперь сделаем обратную замену, получим:
(1)
и
пусть 
. В
результате получаем следующую систему:
Решим
данную систему в координатах 
. Построим график функции 
на промежутке 
. Исходное уравнение (1)
будет иметь более трех решений, если данная система имеет два решения, так как 
.
Из
рисунка видно, что система имеет два решения при 
.
Ответ: .
Другие задания: