Задание 14. Точка Е — середина ребра АА1 куба ABCDA1B1C1D1
а) Докажите, что сечение куба плоскостью DEB1 является ромбом.
б) Найдите угол между прямыми DE и BD1.
Решение.
а) Так как точка E – середина отрезка и является плоскостью, то точка P, через которую проходит плоскость , также является серединой отрезка . Отсюда следует, что треугольники и равны между собой как прямоугольные и с равными катетами, а, следовательно, равны и их гипотенузы . Учитывая, что противоположные грани куба параллельны друг другу, то . Аналогично доказывается, что и . Кроме того, учитывая, что фигура куб, то , откуда следует, что плоскость сечения является ромбом.
б) Длину ребра куба условно примем за 1, а угол между прямыми и обозначим через . Поместим куб в трехмерную декартовую систему координат (см. рисунок ниже),
в которой точки будут иметь координаты
и прямые и можно представить как векторы с координатами:
Тогда косинус угла между векторами и можно найти как
,
где
и
,
откуда
.
Ответ: .
Другие задания: