Задание 14. Точка Е — середина ребра АА1 куба ABCDA1B1C1D1
а) Докажите, что сечение куба плоскостью DEB1 является ромбом.
б) Найдите угол между прямыми DE и BD1.
Решение.
а) Так как точка E – середина
отрезка и
является
плоскостью, то точка P, через которую проходит плоскость
, также является
серединой отрезка
.
Отсюда следует, что треугольники
и
равны между собой как прямоугольные и с
равными катетами, а, следовательно, равны и их гипотенузы
. Учитывая, что противоположные
грани куба параллельны друг другу, то
. Аналогично доказывается, что
и
. Кроме того, учитывая, что
фигура
куб,
то
, откуда
следует, что плоскость сечения
является ромбом.
б) Длину ребра
куба условно примем за 1, а угол между прямыми и
обозначим через
. Поместим куб в трехмерную
декартовую систему координат (см. рисунок ниже),
в которой точки будут иметь координаты
и
прямые и
можно представить как
векторы с координатами:
Тогда
косинус угла между векторами и
можно найти как
,
где
и
,
откуда
.
Ответ: .
Другие задания: