Задание 14. Точка Е — середина ребра АА1 куба ABCDA1B1C1D1
а) Докажите, что сечение куба плоскостью DEB1 является ромбом.
б) Найдите угол между прямыми DE и BD1.
Решение.
а) Так как точка E – середина
отрезка 
и 
является
плоскостью, то точка P, через которую проходит плоскость , также является
серединой отрезка 
.
Отсюда следует, что треугольники 
и 
равны между собой как прямоугольные и с
равными катетами, а, следовательно, равны и их гипотенузы 
. Учитывая, что противоположные
грани куба параллельны друг другу, то 
. Аналогично доказывается, что 
и 
. Кроме того, учитывая, что
фигура 
куб,
то 
, откуда
следует, что плоскость сечения 
является ромбом.
б) Длину ребра
куба условно примем за 1, а угол между прямыми 
и 
обозначим через 
. Поместим куб в трехмерную
декартовую систему координат (см. рисунок ниже),
в которой точки будут иметь координаты
и
прямые и можно представить как
векторы с координатами:
Тогда
косинус угла между векторами 
и 
можно найти как
,
где
и
,
откуда
.
Ответ: 
.
Другие задания:
