Задание 16. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1 и CC1, K и M — основания перпендикуляров, опущенных из точки B на прямые AA1 и CC1.
а)
Докажите, что 
.
б) Найдите площадь треугольника KBM, если известно, что AC = 10, BC = 6, AB = 8.
Решение.
Решение представлено Григорием Пожидаевым
а) Продолжим BK и BM до пересечения с AC. Получим точки K1 и M1 соответственно (см. рисунок ниже). Рассмотрим треугольник ABM1, в котором AM – биссектриса и высота одновременно, следовательно, ABM1 – равнобедренный треугольник, а AM – его медиана. А это значит, что BM=MM1.
По
аналогии для треугольника CBK1, в котором CK – биссектриса и
высота, следовательно, CBK1 – равнобедренный треугольник с
медианой CK и,
следовательно, BK=KK1. Таким образом, получаем, что MK – это средняя
линия треугольника K1BM1, откуда следует, что 
.
б) Треугольник ABC является прямоугольным с углом B=90°, так как для его сторон выполняется теорема Пифагора:
Тогда, для треугольника ABC будет справедливо:
и
Найдем теперь длины сторон BM и BK, получим:
Так как треугольник ABC прямоугольный, то
.
Также
углы 
как
накрест лежащие. А сумма углов 
, следовательно, вокруг четырехугольника BKOM можно описать
окружность. Углы 
,
так как опираются на дугу KO, а углы 
, так как опираются на дугу MO. Отсюда
следует, что 
.
Площадь треугольника KBM вычислим по формуле
Ответ: 2,4.
Другие задания: