Задание 19. Дана арифметическая прогрессия (с разностью, отличной от нуля), составленная из натуральных чисел, десятичная запись которых не содержит цифр 8 и 9.
а) Может ли в такой прогрессии быть 6 членов?
б) Докажите, что число её членов меньше 70.
в) Докажите, что число членов всякой такой прогрессии не больше 32.
г) Приведите пример такой прогрессии с 32 членами.
Решение.
а) Арифметическая прогрессия определяется выражением
,
где
- разность
прогрессии. Допустим, что первый член прогрессии равен 1, и разность 
. Тогда получим
прогрессию из следующих 6 членов:
1, 2, 3, 4, 5, 6,
которые не содержат цифр 8 и 9.
Ответ: да, можно.
б)-г) Здесь мы
докажем, что максимальное число членов такой прогрессии не более 32. При
изменении величины можно
заметить следующую закономерность в значениях членов последовательности (см. ниже):
при
:
при
:
при
:
Если
же брать двухзначные значения , то получим следующую картину значений:
при
:
Из
этих примеров можно заметить, что значения в первой строке образуют некую
группу значений, которая повторяется в последующих строках путем прибавления
либо 10, либо 100, либо другой величины, в общем случае 
, где 
- число цифр в параметре . Используя эту
закономерность значений членов последовательности, можно найти параметр , при котором
арифметическая последовательность будет иметь максимальное число членов, не
содержащая определенные цифры.
В задании требуется доказать что максимальное число членов прогрессии (не содержащая цифр 8 и 9) будет меньше 70. А под следующей буквой в) нужно доказать что таких членов не больше 32. Здесь имеем подсказку, максимальное число членов скорее всего 32. Число 32 можно получить следующим образом (учитывая, что в строке максимум может быть 10 чисел):
то
есть нужно выбрать так,
чтобы в строках было либо 8, либо 4 значения. Так как должны получаться целые
значения, то, 
или
, получим:
при
:
при
:
Во
втором случае видим, что последовательность содержит цифру 8, следовательно, не
подходит. При 
получаем
ровно 32 члена, не содержащих чисел 8 и 9.
Теперь
нужно доказать, что 32 – это максимальное число членов, без цифр 8 и 9. Можно
заметить, что в приведенной схеме, в строке может быть либо 2 члена (при 
), либо 4 члена (при ), либо 5 членов (при 
), либо 8 членов (при ), либо 10 членов (при ). Других вариантов быть
не может. Выберем те варианты , при которых не будет цифр 8 и 9 в членах
последовательности, получим:
при
: 1, 3, 5, 7,
9 – не подходит при любом 
;
при
: 1, 6 –
подходит;
при
: 1, 26, 51,
76 – подходит;
при
: 1, 126, 251,
376, 501, 626, 751, 876 – не подходит при любом .
Отсюда следует, что параметр может быть либо 5, либо 25. При
5 имеем 2 члена в строке, при 25 – 4 члена в строке. Оба этих варианта ранее
уже были рассмотрены и мы убедились, что при 4 членах в строке имеем 32 члена
без цифр 8 и 9 и это наибольшее значение.
Другие задания: