Задание 14. Радиус основания конуса равен 6, а высота конуса равна 8. В конусе проведено сечение плоскостью, проходящей через вершину конуса и хорду окружности основания, длина которой равна 4.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через середину этой хорды и высоту конуса, перпендикулярна этой хорде.
б) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью сечения.
Решение.
а) Рассмотрим равнобедренный
треугольник AOB, у которого
стороны AO=OB=r, где r – радиус окружности.
По условию точка P – середина отрезка AB, следовательно,
. Рассмотрим равнобедренный
треугольник AMB, со сторонами AM=MB, равные длине
образующей конуса. Из условия того, что P – середина отрезка
AB следует 
. Таким образом, имеем,
что
и,
следовательно, 
.
б) Угол 
является линейным углом
двугранного угла между плоскостью основания и плоскостью сечения MAB. Найдем этот
угол. Рассмотрим прямоугольный треугольник MOP, т.к. MO – высота конуса.
Тогда
.
Длина отрезка MO=8, а длину PO найдем из прямоугольного треугольника AOP, в котором известна гипотенуза AO=6 и катет AP=4:2=2, и по теореме Пифагора имеем:
.
Подставляем числовые значения, получаем:
и
.
Ответ: 
.
Другие задания:
