Задание 16. Медианы AM и BN треугольника ABC перпендикулярны и пересекаются в точке Р.
а) Докажите, что CP = АВ.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что АС = 3 и ВС = 4.
Решение.
а) Рассмотрим треугольник ABC, в котором отмечены медианы AM, BN и CF. Медианы пересекаются в одной точке P и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. То есть можно записать, что CP=2FP. Учитывая, что точка F находится на середине отрезка AB и треугольник APB прямоугольный (по условию задания), то точка F является центром описанной окружности вокруг треугольника APB. Следовательно, отрезки AF, FB, FP – радиусы этой окружности, и AB=2FP. Но так как 2FP=2PC, то AB=PC.
б) Пусть и , соответственно, и . Рассмотрим прямоугольный треугольник BPM (так как ). В соответствии с теоремой Пифагора можно записать равенство:
Аналогично, из прямоугольного треугольника APN, имеем:
Получаем систему уравнений:
Умножим второе уравнение на 4 и вычтем его из первого, получим:
Подставляя полученное значение в первое уравнение, имеем:
Рассмотрим прямоугольный треугольник APB, в котором гипотенуза AB равна
Найдем косинус угла из треугольника ABC по теореме косинусов:
тогда
.
Наконец, площадь треугольника ABC равна:
Ответ: .
Другие задания: