Задание 19. Дана арифметическая прогрессия (с разностью, отличной от нуля), составленная из натуральных чисел, десятичная запись которых не содержит цифры 9.
а) Может ли в такой прогрессии быть 10 членов?
б) Докажите, что число её членов меньше 100.
в) Докажите, что число членов всякой такой прогрессии не больше 72.
г) Приведите пример такой прогрессии с 72 членами.
Решение.
а) Арифметическая прогрессия, это последовательность вида
,
где
- целые числа
больше 0. Если выбрать 
и 
, то получим такую последовательность
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20,
которая содержит 10 членов без цифры 9.
б)-г) Прежде чем
переходить к доказательствам, сначала заметим, что арифметическую прогрессию,
состоящую из натуральных чисел и 
, можно представить в виде схемы (дана при ):
Здесь
в первой строке идет группа чисел, которая повторяется в последующих строках с
прибавлением к ним 10, 20, и т.д. Кроме того, можно заметить, что для
соблюдения этой схемы параметр 
может принимать только строго определенные
значения (см. табл. 1)
Таблица 1.
|
Значение
параметра |
Число членов в первой группе (первой строке) |
|
1 |
10 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) |
|
2 |
5 (1, 3, 5, 7, 9) |
|
5 |
2 (1, 6) |
|
25 |
4 (1, 26, 51, 76) |
|
125 |
8 (1, 126, 251, 376, 501, 626, 751, 876) |
При
всех остальных значениях будем получать число членов в первой
группе больше 10, что противоречит схеме. Данная схема важна тем, что только
она обеспечивает максимальное число членов, не содержащих определенные цифры.
Опираясь
на описанную схему, найдем последовательность с наибольшим числом членов, не
содержащих цифру 9. Из таблицы видно, что параметр в этом случае может принимать
значения: 5, 25 и 125. Соответственно в первой строке получаем число членов: 2,
4 и 8. Из этих чисел можно составить последовательности со следующим число
членов (без повторения цифр в старшем разряде):
Распишем их, получим:
при
:
имеем 18 членов без цифр 9;
при
:
имеем
членов без
цифры 9;
при
:
имеем
члена без
цифры 9.
Таким образом, максимальное число членов без цифры 9 равно 72.
Другие задания: