Источник задания: Решение 2554. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 30 вариантов. Ответ.

Решение.

а) Арифметическая прогрессия, это последовательность вида

,

где  - целые числа больше 0. Если выбрать  и , то получим такую последовательность

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20,

которая содержит 10 членов без цифры 9.

б)-г) Прежде чем переходить к доказательствам, сначала заметим, что арифметическую прогрессию, состоящую из натуральных чисел и , можно представить в виде схемы (дана при ):

Здесь в первой строке идет группа чисел, которая повторяется в последующих строках с прибавлением к ним 10, 20, и т.д. Кроме того, можно заметить, что для соблюдения этой схемы параметр  может принимать только строго определенные значения (см. табл. 1)

Таблица 1.

Значение параметра	Число членов в первой группе (первой строке)
1	10 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)
2	5 (1, 3, 5, 7, 9)
5	2 (1, 6)
25	4 (1, 26, 51, 76)
125	8 (1, 126, 251, 376, 501, 626, 751, 876)

При всех остальных значениях  будем получать число членов в первой группе больше 10, что противоречит схеме. Данная схема важна тем, что только она обеспечивает максимальное число членов, не содержащих определенные цифры.

Опираясь на описанную схему, найдем последовательность с наибольшим числом членов, не содержащих цифру 9. Из таблицы видно, что параметр  в этом случае может принимать значения: 5, 25 и 125. Соответственно в первой строке получаем число членов: 2, 4 и 8. Из этих чисел можно составить последовательности со следующим число членов (без повторения цифр в старшем разряде):

Распишем их, получим:

при :

имеем 18 членов без цифр 9;

при :

имеем  членов без цифры 9;

при :

имеем  члена без цифры 9.

Таким образом, максимальное число членов без цифры 9 равно 72.

Онлайн курсы ЕГЭ и ОГЭ

Другие задания: