Задание 14. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 3, точка М — середина ребра АС, точка О — центр основания пирамиды, точка F делит отрезок SO в отношении 2:1, считая от вершины пирамиды.
а) Докажите, что плоскость MSF перпендикулярна ребру АС.
б) Найдите угол между плоскостью MCF и плоскостью ABC.
Решение.
а) В основании
правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник, то есть
треугольник ABC – равносторонний.
Учитывая также, что точка M – середина AC, то 
. Отрезок SO – высота пирамиды,
то есть 
, и,
следовательно, 
по
теореме о трех перпендикулярах. Таким образом, из
имеем,
что 
, и,
следовательно, 
.
б) Угол между
плоскостями MCF и ABC равен углу 
. Рассмотрим
прямоугольный треугольник FOM, из которого следует, что 
. Точка O делит отрезок BM в отношении 2:1
(то есть OB – это 2 части, а
OM – 1 часть). Длина
отрезка OB представляет
собой радиус описанной окружности вокруг равностороннего треугольника ABC и равна
,
и
так как OM в 2 раза меньше
OB, то 
. Найдем длину отрезка SO (чтобы потом
найти длину FO) из
прямоугольного треугольника SOB и по теореме Пифагора имеем:
,
и так как точка F делит SO в отношении 2:1 (по условию задачи), то OF в 3 раза меньше SO:
.
Таким образом, тангенс угла между плоскостями, равен:
и
.
Ответ: 
.
Другие задания:
